Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Calcestruzzo, k = 1,4100 mmMattone, k = 0,72100 mm21 °C-6 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 100 mm di calcestruzzo e 100 mm di mattone, con un’area di 6 m². Le facce esterne sono a 21 °C e -6 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 21 °CT3 = -6 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Polistirene espanso, k = 0,035200 mmLana minerale, k = 0,0450 mmstanza 20 °Cesterno -12 °CQ̇

Una parete di 200 mm polistirene espanso e 50 mm lana minerale separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a -12 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 6 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.

L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 6 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -12 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT105 °C60 °C70 °C30 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore a fascio tubiero (un passaggio lato mantello, due passaggi lato tubi) deve trasferire 570 kW. Il fluido caldo si raffredda da 105 a 60 °C e il fluido freddo si riscalda da 30 a 70 °C. Il fattore di correzione della LMTD per questa configurazione è F = 0,88, e U = 800 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 570 kWF = 0,88U = 800 W/(m²·K)Th: 105 → 60 °CTc: 30 → 70 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT110 °C20 °C?ΔT₁ΔT₂vapore che condensa

Il vapore condensa a 110 °C costanti all’esterno dei tubi di un condensatore con un’area di scambio di 2,5 m² e U = 1500 W/(m²·K). L’acqua di raffreddamento (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entra nei tubi a 20 °C. Trova la temperatura di uscita dell’acqua Tc,out.

Ts = 110 °CA = 2,5 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °C
Tc,out = °C

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 770,3 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·6) = 0,0119 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·6) = 0,02315 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 27/0,03505 = 770,3 W

Risposta

Q̇ = 770,3 W
2.Conduzione del calore

Risposta: U = 0,1401 W/(m²·K)

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·6) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·6) = 0,9524 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,04·6) = 0,2083 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·6) = 0,008333 K/W
ΣR = 1,19 K/W

Coefficiente globale

U = 1/(A·ΣR) = 1/(6·1,19) = 0,1401 W/(m²·K)

Risposta

U = 0,1401 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 24,96 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenze di temperatura agli estremi (controcorrente)

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 70 = 35 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 30 = 30 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (35 − 30)/ln(35/30) = 32,44 K

Area

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 570000/(800·0,88·32,44) = 24,96 m²

Risposta

A = 24,96 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: Tc,out = 60,51 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combina il bilancio energetico e l’equazione di scambio

Con ΔT₁ = Ts − Tc,in e ΔT₂ = Ts − Tc,out, la differenza ΔT₁ − ΔT₂ è uguale all’aumento di temperatura dell’acqua, quindi l’aumento si semplifica.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·2,5/(1,5·4180) = 0,5981

Temperatura di uscita

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,5981 = 90·0,5499 = 49,49 K
Tc,out = 110 − 49,49 = 60,51 °C

Risposta

Tc,out = 60,51 °C

Calore trasferito: Q̇ = 254 kW.

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