Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 50 mm di polistirene espanso e 75 mm di mattone, con un’area di 8 m². Le facce esterne sono a 19 °C e 10 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 50 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 19 °CT3 = 10 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 150 mm polistirene espanso e 100 mm calcestruzzo separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a 3 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 4 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 4 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 3 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore controcorrente trasferisce 110 kW. Il fluido caldo si raffredda da 145 a 90 °C e il fluido freddo si riscalda da 30 a 95 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 110 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 145 → 90 °CTc: 30 → 95 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
In uno scambiatore a doppio tubo controcorrente, olio caldo (0,3 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) scorre nel tubo interno e si raffredda da 150 a 110 °C. Acqua (0,3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) nell’intercapedine anulare entra a 15 °C. Il tubo interno ha un diametro di 32 mm, e U = 250 W/(m²·K) è riferito a questo diametro. Trova la lunghezza del tubo L necessaria.
ṁh = 0,3 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 150 → 110 °Cṁc = 0,3 kg/sTc,in = 15 °CD = 32 mmU = 250 W/(m²·K)
L = m
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 46,97 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,035·8) = 0,1786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·8) = 0,01302 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 9/0,1916 = 46,97 W
Risposta
Q̇ = 46,97 W
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 16,65 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·4) = 0,04167 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·4) = 1,071 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·4) = 0,01786 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0,01 K/W
ΣR = 1,141 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (22 − (3))/1,141 = 16,65 W
Risposta
Q̇ = 16,65 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 1,337 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 145 − 95 = 50 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 30 = 60 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (50 − 60)/ln(50/60) = 54,85 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 110000/(1500·54,85) = 1,337 m²
Risposta
A = 1,337 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: L = 9,582 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = 0,3·2,1·(150 − 110) = 25,2 kW
Tc,out = 15 + 25,2/(0,3·4,18) = 35,1 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 35,1 = 114,9 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 110 − 15 = 95 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (114,9 − 95)/ln(114,9/95) = 104,6 K
Area e lunghezza
A = 25200/(250·104,6) = 0,9633 m²
L = A/(πD) = 0,9633/(π·0,032) = 9,582 m
Risposta
L = 9,582 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer