Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Calcestruzzo, k = 1,4150 mmLegno, k = 0,1775 mm16 °C6 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 150 mm di calcestruzzo e 75 mm di legno, con un’area di 12 m². Le facce esterne sono a 16 °C e 6 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 16 °CT3 = 6 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Mattone, k = 0,72100 mmCalcestruzzo, k = 1,425 mmstanza 22 °Cesterno -13 °CQ̇

Una parete di 100 mm mattone e 25 mm calcestruzzo separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -13 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 12 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.

L1 = 100 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 12 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -13 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT140 °C10 °C25 °CΔT₁ΔT₂vapore che condensa

In un condensatore, il vapore condensa a 140 °C costanti all’esterno dei tubi. L’acqua di raffreddamento (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) scorre nei tubi e si riscalda da 10 a 25 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1000 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Ts = 140 °Cṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 10 → 25 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT100 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂vapore che condensa

Il vapore condensa a 100 °C costanti all’esterno dei tubi di un condensatore con un’area di scambio di 2,5 m² e U = 1000 W/(m²·K). L’acqua di raffreddamento (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entra nei tubi a 10 °C. Trova la temperatura di uscita dell’acqua Tc,out.

Ts = 100 °CA = 2,5 m²U = 1000 W/(m²·K)ṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C
Tc,out = °C

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 218,9 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·12) = 0,008929 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·12) = 0,03676 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 10/0,04569 = 218,9 W

Risposta

Q̇ = 218,9 W
2.Conduzione del calore

Risposta: U = 2,803 W/(m²·K)

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·12) = 0,01389 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,72·12) = 0,01157 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·12) = 0,001488 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0,002778 K/W
ΣR = 0,02973 K/W

Coefficiente globale

U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,02973) = 2,803 W/(m²·K)

Risposta

U = 2,803 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 0,2562 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Potenza termica dal lato acqua

Q̇ = 0,5·4,18·(25 − 10) = 31,35 kW

Differenze di temperatura agli estremi

ΔT₁ = 140 − 10 = 130 K
ΔT₂ = 140 − 25 = 115 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (130 − 115)/ln(130/115) = 122,3 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 31350/(1000·122,3) = 0,2562 m²

Risposta

A = 0,2562 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: Tc,out = 72,79 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combina il bilancio energetico e l’equazione di scambio

Con ΔT₁ = Ts − Tc,in e ΔT₂ = Ts − Tc,out, la differenza ΔT₁ − ΔT₂ è uguale all’aumento di temperatura dell’acqua, quindi l’aumento si semplifica.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1000·2,5/(0,5·4180) = 1,196

Temperatura di uscita

ΔT₂ = ΔT₁·e−1,196 = 90·0,3023 = 27,21 K
Tc,out = 100 − 27,21 = 72,79 °C

Risposta

Tc,out = 72,79 °C

Calore trasferito: Q̇ = 131,2 kW.

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