Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Lana minerale, k = 0,04150 mmVetro, k = 0,9650 mm23 °C5 °CTi​ = ?Q̇

Una parete è composta da 150 mm di lana minerale e 50 mm di vetro, con un’area di 8 m². Le facce esterne sono a 23 °C e 5 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.

L1 = 150 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 23 °CT3 = 5 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Vetro, k = 0,96150 mmCalcestruzzo, k = 1,425 mmstanza 20 °Cesterno -9 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 150 mm vetro e 25 mm calcestruzzo separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a -9 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 10 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 150 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 10 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -9 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT150 °C95 °C30 °C50 °CΔT₁ΔT₂equicorrente

Uno scambiatore equicorrente trasferisce 360 kW. Il fluido caldo si raffredda da 150 a 95 °C e il fluido freddo si riscalda da 30 a 50 °C. Il coefficiente globale di scambio è 800 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 360 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 150 → 95 °CTc: 30 → 50 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT115 °C55 °C?15 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

In uno scambiatore a doppio tubo controcorrente, olio caldo (0,8 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) scorre nel tubo interno e si raffredda da 115 a 55 °C. Acqua (0,8 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) nell’intercapedine anulare entra a 15 °C. Il tubo interno ha un diametro di 20 mm, e U = 200 W/(m²·K) è riferito a questo diametro. Trova la lunghezza del tubo L necessaria.

ṁh = 0,8 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 115 → 55 °Cṁc = 0,8 kg/sTc,in = 15 °CD = 20 mmU = 200 W/(m²·K)
L = m

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Ti = 5,247 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,04·8) = 0,4688 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·8) = 0,00651 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 18/0,4753 = 37,87 W

Temperatura all’interfaccia

La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 23 − 37,87·0,4688 = 5,247 °C

Risposta

Ti = 5,247 °C
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 9,096 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·10) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,96·10) = 0,01563 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·10) = 0,001786 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·10) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,03324 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (20 − (-9))/0,03324 = 872,3 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 872,3·0,0125 = 9,096 °C

Risposta

Ts = 9,096 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 5,885 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Differenze di temperatura agli estremi

In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 150 − 30 = 120 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 95 − 50 = 45 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (120 − 45)/ln(120/45) = 76,47 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 360000/(800·76,47) = 5,885 m²

Risposta

A = 5,885 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: L = 167,9 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = 0,8·2,3·(115 − 55) = 110,4 kW
Tc,out = 15 + 110,4/(0,8·4,18) = 48,01 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 48,01 = 66,99 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 15 = 40 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (66,99 − 40)/ln(66,99/40) = 52,34 K

Area e lunghezza

A = 110400/(200·52,34) = 10,55 m²
L = A/(πD) = 10,55/(π·0,02) = 167,9 m

Risposta

L = 167,9 m

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