Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Polistirene espanso, k = 0,035150 mmCartongesso, k = 0,17100 mm21 °C-6 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 150 mm di polistirene espanso e 100 mm di cartongesso, con un’area di 6 m². Le facce esterne sono a 21 °C e -6 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 21 °CT3 = -6 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Lana minerale, k = 0,04100 mmPolistirene espanso, k = 0,03550 mmstanza 22 °Cesterno -2 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 100 mm lana minerale e 50 mm polistirene espanso separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -2 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 20 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 20 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -2 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT120 °C60 °C15 °C55 °CΔT₁ΔT₂equicorrente

Uno scambiatore equicorrente trasferisce 80 kW. Il fluido caldo si raffredda da 120 a 60 °C e il fluido freddo si riscalda da 15 a 55 °C. Il coefficiente globale di scambio è 800 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 80 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 120 → 60 °CTc: 15 → 55 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT140 °C95 °C?25 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

In uno scambiatore a doppio tubo controcorrente, olio caldo (1 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) scorre nel tubo interno e si raffredda da 140 a 95 °C. Acqua (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) nell’intercapedine anulare entra a 25 °C. Il tubo interno ha un diametro di 40 mm, e U = 500 W/(m²·K) è riferito a questo diametro. Trova la lunghezza del tubo L necessaria.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 140 → 95 °Cṁc = 1,5 kg/sTc,in = 25 °CD = 40 mmU = 500 W/(m²·K)
L = m

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 33,24 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·6) = 0,7143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·6) = 0,09804 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 27/0,8123 = 33,24 W

Risposta

Q̇ = 33,24 W
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 21,03 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·20) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·20) = 0,125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,035·20) = 0,07143 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·20) = 0,002 K/W
ΣR = 0,2068 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (22 − (-2))/0,2068 = 116,1 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 116,1·0,008333 = 21,03 °C

Risposta

Ts = 21,03 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 3,045 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Differenze di temperatura agli estremi

In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 120 − 15 = 105 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 60 − 55 = 5 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (105 − 5)/ln(105/5) = 32,85 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 80000/(800·32,85) = 3,045 m²

Risposta

A = 3,045 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: L = 21,63 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = 1·2,5·(140 − 95) = 112,5 kW
Tc,out = 25 + 112,5/(1,5·4,18) = 42,94 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 42,94 = 97,06 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 95 − 25 = 70 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (97,06 − 70)/ln(97,06/70) = 82,79 K

Area e lunghezza

A = 112500/(500·82,79) = 2,718 m²
L = A/(πD) = 2,718/(π·0,04) = 21,63 m

Risposta

L = 21,63 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer