Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Lana minerale, k = 0,04100 mmCalcestruzzo, k = 1,425 mm19 °C4 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 100 mm di lana minerale e 25 mm di calcestruzzo, con un’area di 4 m². Le facce esterne sono a 19 °C e 4 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 19 °CT3 = 4 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Vetro, k = 0,96100 mmCartongesso, k = 0,1775 mmstanza 20 °Cesterno -10 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 100 mm vetro e 75 mm cartongesso separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a -10 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 4 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 100 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -10 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT130 °C10 °C30 °CΔT₁ΔT₂vapore che condensa

In un condensatore, il vapore condensa a 130 °C costanti all’esterno dei tubi. L’acqua di raffreddamento (4 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) scorre nei tubi e si riscalda da 10 a 30 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Ts = 130 °Cṁ = 4 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 10 → 30 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT100 °C55 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂equicorrente

In uno scambiatore a doppio tubo equicorrente, olio caldo (1 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) scorre nel tubo interno e si raffredda da 100 a 55 °C. Acqua (0,8 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) nell’intercapedine anulare entra a 10 °C. Il tubo interno ha un diametro di 20 mm, e U = 300 W/(m²·K) è riferito a questo diametro. Trova la lunghezza del tubo L necessaria.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 100 → 55 °Cṁc = 0,8 kg/sTc,in = 10 °CD = 20 mmU = 300 W/(m²·K)
L = m

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 23,83 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·4) = 0,625 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·4) = 0,004464 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 15/0,6295 = 23,83 W

Risposta

Q̇ = 23,83 W
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 13,35 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·4) = 0,04167 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,96·4) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·4) = 0,1103 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0,01 K/W
ΣR = 0,188 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (20 − (-10))/0,188 = 159,6 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 159,6·0,04167 = 13,35 °C

Risposta

Ts = 13,35 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 2,032 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Potenza termica dal lato acqua

Q̇ = 4·4,18·(30 − 10) = 334,4 kW

Differenze di temperatura agli estremi

ΔT₁ = 130 − 10 = 120 K
ΔT₂ = 130 − 30 = 100 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (120 − 100)/ln(120/100) = 109,7 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 334400/(1500·109,7) = 2,032 m²

Risposta

A = 2,032 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: L = 115,1 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = 1·2,1·(100 − 55) = 94,5 kW
Tc,out = 10 + 94,5/(0,8·4,18) = 38,26 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 100 − 10 = 90 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 55 − 38,26 = 16,74 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 16,74)/ln(90/16,74) = 43,56 K

Area e lunghezza

A = 94500/(300·43,56) = 7,232 m²
L = A/(πD) = 7,232/(π·0,02) = 115,1 m

Risposta

L = 115,1 m

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