Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Lana minerale, k = 0,04250 mmVetro, k = 0,96100 mm22 °C0 °CTi​ = ?Q̇

Una parete è composta da 250 mm di lana minerale e 100 mm di vetro, con un’area di 10 m². Le facce esterne sono a 22 °C e 0 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.

L1 = 250 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 22 °CT3 = 0 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Cartongesso, k = 0,17250 mmVetro, k = 0,96100 mmstanza 22 °Cesterno -7 °CQ̇

Una parete di 250 mm cartongesso e 100 mm vetro separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -7 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 4 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.

L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 4 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -7 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT110 °C30 °C60 °CΔT₁ΔT₂vapore che condensa

In un condensatore, il vapore condensa a 110 °C costanti all’esterno dei tubi. L’acqua di raffreddamento (4 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) scorre nei tubi e si riscalda da 30 a 60 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1000 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Ts = 110 °Cṁ = 4 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 30 → 60 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT115 °C85 °C96,77 °C25 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Olio caldo (2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) si raffredda da 115 a 85 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 0,5 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 25 °C. Con U = 500 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 115 → 85 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Ti = 0,3607 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,04·10) = 0,625 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,96·10) = 0,01042 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 22/0,6354 = 34,62 W

Temperatura all’interfaccia

La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 34,62·0,625 = 0,3607 °C

Risposta

Ti = 0,3607 °C
2.Conduzione del calore

Risposta: U = 0,5582 W/(m²·K)

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·4) = 0,04167 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·4) = 0,3676 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,96·4) = 0,02604 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0,0125 K/W
ΣR = 0,4479 K/W

Coefficiente globale

U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·0,4479) = 0,5582 W/(m²·K)

Risposta

U = 0,5582 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 7,858 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Potenza termica dal lato acqua

Q̇ = 4·4,18·(60 − 30) = 501,6 kW

Differenze di temperatura agli estremi

ΔT₁ = 110 − 30 = 80 K
ΔT₂ = 110 − 60 = 50 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 50)/ln(80/50) = 63,83 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 501600/(1000·63,83) = 7,858 m²

Risposta

A = 7,858 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 8,556 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,5·30 = 150 kW
Tc,out = 25 + 150/(0,5·4,18) = 96,77 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 96,77 = 18,23 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 25 = 60 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (18,23 − 60)/ln(18,23/60) = 35,06 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 150000/(500·35,06) = 8,556 m²

Risposta

A = 8,556 m²

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