Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 150 mm di polistirene espanso e 25 mm di vetro, con un’area di 12 m². Le facce esterne sono a 21 °C e 2 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 21 °CT3 = 2 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 100 mm lana minerale e 100 mm legno separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a 4 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 15 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.
L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 4 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore equicorrente trasferisce 380 kW. Il fluido caldo si raffredda da 100 a 80 °C e il fluido freddo si riscalda da 10 a 20 °C. Il coefficiente globale di scambio è 500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 380 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 100 → 80 °CTc: 10 → 20 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) si raffredda da 95 a 45 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 3 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 10 °C. Con U = 200 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 95 → 45 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 52,88 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·12) = 0,3571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,96·12) = 0,00217 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 19/0,3593 = 52,88 W
Risposta
Q̇ = 52,88 W
2.Conduzione del calore
Risposta: U = 0,3074 W/(m²·K)
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·15) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·15) = 0,1667 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·15) = 0,03922 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0,002667 K/W
ΣR = 0,2169 K/W
Coefficiente globale
U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,2169) = 0,3074 W/(m²·K)
Risposta
U = 0,3074 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 10,27 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 100 − 10 = 90 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 80 − 20 = 60 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 60)/ln(90/60) = 73,99 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 380000/(500·73,99) = 10,27 m²
Risposta
A = 10,27 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 25,78 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,5·50 = 250 kW
Tc,out = 10 + 250/(3·4,18) = 29,94 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 29,94 = 65,06 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 10 = 35 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (65,06 − 35)/ln(65,06/35) = 48,49 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 250000/(200·48,49) = 25,78 m²
Risposta
A = 25,78 m²
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