Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Polistirene espanso, k = 0,035200 mmVetro, k = 0,9650 mm21 °C-5 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 200 mm di polistirene espanso e 50 mm di vetro, con un’area di 6 m². Le facce esterne sono a 21 °C e -5 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 21 °CT3 = -5 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Vetro, k = 0,96150 mmLegno, k = 0,1725 mmstanza 22 °Cesterno -13 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 150 mm vetro e 25 mm legno separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -13 °C. I coefficienti di convezione sono 10 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 15 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 150 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -13 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT150 °C125 °C15 °C95 °CΔT₁ΔT₂equicorrente

Uno scambiatore di calore equicorrente trasferisce 250 kW. La sua area di scambio è 8 m². Il fluido caldo si raffredda da 150 a 125 °C e il fluido freddo si riscalda da 15 a 95 °C. Trova il coefficiente globale di scambio U.

Q̇ = 250 kWA = 8 m²Th: 150 → 125 °CTc: 15 → 95 °C
U = W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT180 °C90 °C51,91 °C25 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Olio caldo (0,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) si raffredda da 180 a 90 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 1 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 25 °C. Con U = 300 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 180 → 90 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 27,05 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·6) = 0,9524 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·6) = 0,008681 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 26/0,9611 = 27,05 W

Risposta

Q̇ = 27,05 W
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 14,1 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·15) = 0,006667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,96·15) = 0,01042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·15) = 0,009804 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0,002667 K/W
ΣR = 0,02955 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (22 − (-13))/0,02955 = 1184 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 1184·0,006667 = 14,1 °C

Risposta

Ts = 14,1 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: U = 447,6 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenze di temperatura agli estremi

In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 150 − 15 = 135 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 125 − 95 = 30 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (135 − 30)/ln(135/30) = 69,81 K

Coefficiente globale

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 250000/(8·69,81) = 447,6 W/(m²·K)

Risposta

U = 447,6 W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 4,032 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,5·90 = 112,5 kW
Tc,out = 25 + 112,5/(1·4,18) = 51,91 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 180 − 51,91 = 128,1 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 25 = 65 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (128,1 − 65)/ln(128,1/65) = 93 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 112500/(300·93) = 4,032 m²

Risposta

A = 4,032 m²

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