Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Cartongesso, k = 0,1750 mmLana minerale, k = 0,04150 mm18 °C-7 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 50 mm di cartongesso e 150 mm di lana minerale, con un’area di 4 m². Le facce esterne sono a 18 °C e -7 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 18 °CT3 = -7 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Cartongesso, k = 0,1750 mmLana minerale, k = 0,04150 mmstanza 21 °Cesterno -2 °CQ̇

Una parete di 50 mm cartongesso e 150 mm lana minerale separa una stanza a 21 °C dall’aria esterna a -2 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 6 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 6 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -2 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT165 °C105 °C25 °C60 °CΔT₁ΔT₂equicorrente

Uno scambiatore equicorrente trasferisce 40 kW. Il fluido caldo si raffredda da 165 a 105 °C e il fluido freddo si riscalda da 25 a 60 °C. Il coefficiente globale di scambio è 300 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 40 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 165 → 105 °CTc: 25 → 60 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT140 °C25 °C?ΔT₁ΔT₂vapore che condensa

Il vapore condensa a 140 °C costanti all’esterno dei tubi di un condensatore con un’area di scambio di 8 m² e U = 2500 W/(m²·K). L’acqua di raffreddamento (3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entra nei tubi a 25 °C. Trova la temperatura di uscita dell’acqua Tc,out.

Ts = 140 °CA = 8 m²U = 2500 W/(m²·K)ṁ = 3 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °C
Tc,out = °C

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 24,73 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·4) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·4) = 0,9375 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 25/1,011 = 24,73 W

Risposta

Q̇ = 24,73 W
2.Conduzione del calore

Risposta: U = 0,2353 W/(m²·K)

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·6) = 0,02778 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·6) = 0,04902 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·6) = 0,625 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·6) = 0,006667 K/W
ΣR = 0,7085 K/W

Coefficiente globale

U = 1/(A·ΣR) = 1/(6·0,7085) = 0,2353 W/(m²·K)

Risposta

U = 0,2353 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 1,593 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Differenze di temperatura agli estremi

In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 165 − 25 = 140 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 105 − 60 = 45 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (140 − 45)/ln(140/45) = 83,7 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 40000/(300·83,7) = 1,593 m²

Risposta

A = 1,593 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: Tc,out = 116,7 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combina il bilancio energetico e l’equazione di scambio

Con ΔT₁ = Ts − Tc,in e ΔT₂ = Ts − Tc,out, la differenza ΔT₁ − ΔT₂ è uguale all’aumento di temperatura dell’acqua, quindi l’aumento si semplifica.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2500·8/(3·4180) = 1,595

Temperatura di uscita

ΔT₂ = ΔT₁·e−1,595 = 115·0,2029 = 23,34 K
Tc,out = 140 − 23,34 = 116,7 °C

Risposta

Tc,out = 116,7 °C

Calore trasferito: Q̇ = 1149 kW.

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