Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Mattone, k = 0,72100 mmPolistirene espanso, k = 0,03550 mm23 °C-3 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 100 mm di mattone e 50 mm di polistirene espanso, con un’area di 12 m². Le facce esterne sono a 23 °C e -3 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 100 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 23 °CT3 = -3 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Vetro, k = 0,96250 mmMattone, k = 0,7225 mmstanza 22 °Cesterno -13 °CQ̇

Una parete di 250 mm vetro e 25 mm mattone separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -13 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 8 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.

L1 = 250 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 8 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -13 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT140 °C15 °C55 °CΔT₁ΔT₂vapore che condensa

In un condensatore, il vapore condensa a 140 °C costanti all’esterno dei tubi. L’acqua di raffreddamento (4 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) scorre nei tubi e si riscalda da 15 a 55 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1000 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Ts = 140 °Cṁ = 4 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 15 → 55 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT110 °C30 °C?ΔT₁ΔT₂vapore che condensa

Il vapore condensa a 110 °C costanti all’esterno dei tubi di un condensatore con un’area di scambio di 4 m² e U = 1500 W/(m²·K). L’acqua di raffreddamento (2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entra nei tubi a 30 °C. Trova la temperatura di uscita dell’acqua Tc,out.

Ts = 110 °CA = 4 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °C
Tc,out = °C

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 199 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,72·12) = 0,01157 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,035·12) = 0,119 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 26/0,1306 = 199 W

Risposta

Q̇ = 199 W
2.Conduzione del calore

Risposta: U = 2,173 W/(m²·K)

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·8) = 0,01563 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,96·8) = 0,03255 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·8) = 0,00434 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0,005 K/W
ΣR = 0,05752 K/W

Coefficiente globale

U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,05752) = 2,173 W/(m²·K)

Risposta

U = 2,173 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 6,448 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Potenza termica dal lato acqua

Q̇ = 4·4,18·(55 − 15) = 668,8 kW

Differenze di temperatura agli estremi

ΔT₁ = 140 − 15 = 125 K
ΔT₂ = 140 − 55 = 85 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (125 − 85)/ln(125/85) = 103,7 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 668800/(1000·103,7) = 6,448 m²

Risposta

A = 6,448 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: Tc,out = 70,97 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combina il bilancio energetico e l’equazione di scambio

Con ΔT₁ = Ts − Tc,in e ΔT₂ = Ts − Tc,out, la differenza ΔT₁ − ΔT₂ è uguale all’aumento di temperatura dell’acqua, quindi l’aumento si semplifica.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·4/(2·4180) = 0,7177

Temperatura di uscita

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,7177 = 80·0,4879 = 39,03 K
Tc,out = 110 − 39,03 = 70,97 °C

Risposta

Tc,out = 70,97 °C

Calore trasferito: Q̇ = 342,5 kW.

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