Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 200 mm di calcestruzzo e 75 mm di vetro, con un’area di 6 m². Le facce esterne sono a 23 °C e -6 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 23 °CT3 = -6 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 100 mm calcestruzzo e 100 mm lana minerale separa una stanza a 21 °C dall’aria esterna a -15 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 20 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 20 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -15 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
In un condensatore, il vapore condensa a 120 °C costanti all’esterno dei tubi. L’acqua di raffreddamento (5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) scorre nei tubi e si riscalda da 25 a 55 °C. Il coefficiente globale di scambio è 2500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Ts = 120 °Cṁ = 5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 25 → 55 °CU = 2500 W/(m²·K)
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
In uno scambiatore controcorrente entrambe le correnti hanno la stessa capacità termica oraria, ṁ·cp = 1,5 kW/K. La corrente calda entra a 85 °C e quella fredda a 15 °C. Lo scambiatore ha A = 3 m² e U = 500 W/(m²·K). Trova la temperatura di uscita della corrente calda Th,out.
Ch = Cc = 1,5 kW/KTh,in = 85 °CTc,in = 15 °CA = 3 m²U = 500 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 787,4 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·6) = 0,02381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·6) = 0,01302 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 29/0,03683 = 787,4 W
Risposta
Q̇ = 787,4 W
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 263,1 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·20) = 0,00625 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·20) = 0,003571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,04·20) = 0,125 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·20) = 0,002 K/W
ΣR = 0,1368 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (21 − (-15))/0,1368 = 263,1 W
Risposta
Q̇ = 263,1 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 3,173 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Potenza termica dal lato acqua
Q̇ = 5·4,18·(55 − 25) = 627 kW
Differenze di temperatura agli estremi
ΔT₁ = 120 − 25 = 95 K
ΔT₂ = 120 − 55 = 65 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (95 − 65)/ln(95/65) = 79,05 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 627000/(2500·79,05) = 3,173 m²
Risposta
A = 3,173 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: Th,out = 50 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Differenza di temperatura costante
L’uscita fredda si trova di fronte all’ingresso caldo: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), quindi ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Bilancio energetico uguale all’equazione di scambio
1,5·(85 − Th,out) = 1,5·(Th,out − 15)
Th,out = (1,5·85 + 1,5·15)/(1,5 + 1,5) = 50 °C
Risposta
Th,out = 50 °C
Calore trasferito: Q̇ = 52,5 kW; la corrente fredda esce a 50 °C.
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