Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 150 mm di polistirene espanso e 100 mm di lana minerale, con un’area di 6 m². Le facce esterne sono a 17 °C e 4 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 17 °CT3 = 4 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 100 mm legno e 150 mm mattone separa una stanza a 21 °C dall’aria esterna a -4 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 8 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.
L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 8 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -4 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore controcorrente trasferisce 20 kW. Il fluido caldo si raffredda da 85 a 35 °C e il fluido freddo si riscalda da 20 a 40 °C. Il coefficiente globale di scambio è 300 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 20 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 85 → 35 °CTc: 20 → 40 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (1 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) si raffredda da 165 a 110 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 1 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 30 °C. Con U = 300 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 165 → 110 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 11,49 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·6) = 0,7143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,04·6) = 0,4167 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 13/1,131 = 11,49 W
Risposta
Q̇ = 11,49 W
2.Conduzione del calore
Risposta: U = 1,024 W/(m²·K)
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·8) = 0,01623 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·8) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,72·8) = 0,02604 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0,00625 K/W
ΣR = 0,1221 K/W
Coefficiente globale
U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,1221) = 1,024 W/(m²·K)
Risposta
U = 1,024 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 2,441 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 40 = 45 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 35 − 20 = 15 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (45 − 15)/ln(45/15) = 27,31 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 20000/(300·27,31) = 2,441 m²
Risposta
A = 2,441 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 4,139 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,1·55 = 115,5 kW
Tc,out = 30 + 115,5/(1·4,18) = 57,63 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 165 − 57,63 = 107,4 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 110 − 30 = 80 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (107,4 − 80)/ln(107,4/80) = 93,01 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 115500/(300·93,01) = 4,139 m²
Risposta
A = 4,139 m²
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