Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 50 mm di calcestruzzo e 75 mm di mattone, con un’area di 15 m². Le facce esterne sono a 15 °C e 10 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 50 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 15 °CT3 = 10 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 250 mm vetro e 100 mm mattone separa una stanza a 21 °C dall’aria esterna a -12 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 10 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.
L1 = 250 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 10 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -12 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore di calore controcorrente trasferisce 50 kW. La sua area di scambio è 15 m². Il fluido caldo si raffredda da 90 a 55 °C e il fluido freddo si riscalda da 30 a 40 °C. Trova il coefficiente globale di scambio U.
Q̇ = 50 kWA = 15 m²Th: 90 → 55 °CTc: 30 → 40 °C
U = W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (1,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) si raffredda da 130 a 75 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 0,5 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 20 °C. Con U = 1000 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 130 → 75 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 536,2 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(1,4·15) = 0,002381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·15) = 0,006944 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 5/0,009325 = 536,2 W
Risposta
Q̇ = 536,2 W
2.Conduzione del calore
Risposta: U = 1,727 W/(m²·K)
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·10) = 0,01299 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,96·10) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·10) = 0,01389 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·10) = 0,005 K/W
ΣR = 0,05792 K/W
Coefficiente globale
U = 1/(A·ΣR) = 1/(10·0,05792) = 1,727 W/(m²·K)
Risposta
U = 1,727 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: U = 92,42 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 40 = 50 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 30 = 25 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (50 − 25)/ln(50/25) = 36,07 K
Coefficiente globale
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 50000/(15·36,07) = 92,42 W/(m²·K)
Risposta
U = 92,42 W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 5,577 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,3·55 = 189,7 kW
Tc,out = 20 + 189,7/(0,5·4,18) = 110,8 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 110,8 = 19,21 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 20 = 55 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (19,21 − 55)/ln(19,21/55) = 34,02 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 189750/(1000·34,02) = 5,577 m²
Risposta
A = 5,577 m²
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