Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 3 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre a 15 L/s in un tubo orizzontale che si restringe da 200 mm a 100 mm. La pressione nella sezione stretta è 150 kPa. Trascurando le perdite, trova la pressione p₁ nella sezione larga.

Q = 15 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₂ = 150 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un tubo flessibile con diametro interno di 20 mm aspira acqua a sifone da un serbatoio aperto. Il punto più alto C del tubo è 2,5 m sopra il pelo libero, e l’uscita (aperta all’aria) è 3 m sotto il pelo libero. Trascura le perdite e assumi g = 9,81 m/s². Trova la portata Q.

d = 20 mmz_C = +2,5 mz₂ = −3 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una portata di 60 L/s in un tubo lungo 150 m con diametro interno di 150 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

Q = 60 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 300 m con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 13 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 10) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.

Δz = 13 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa eroga 25 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 24 m. Il rendimento della pompa è del 78% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 94%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica P_el assorbita dal motore, in kW.

Q = 25 L/sH = 24 mη_pump = 78%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 100 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 10 m più in alto. Il tubo è lungo 200 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 4 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 100 L/sΔz = 10 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 4

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un collettore per acque meteoriche in calcestruzzo con diametro interno di 450 mm scorre appena pieno (come canale a pelo libero, non in pressione). n di Manning = 0,013 e la pendenza è S = 0,001. Trova la portata Q in m³/s.

D = 450 mmn = 0,013S = 0,001

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale rettangolare in ghiaia largo 2 m deve convogliare 1,7 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,4 m. n di Manning = 0,025. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 1,7 m³/sb = 2 my = 1,4 mn = 0,025

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 44,15 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·1,5 = 44,15 kN

Risposta

F = 44,15 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 4,667 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·6 = 264,9 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4,5 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 4,5/(4,5·6) = 4,667 m

Risposta

y_cp = 4,667 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₁ = 151,7 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità

v₁ = Q/A₁ = 0,015/0,03142 = 0,4775 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 150 + ½·1000·(1,91² − 0,4775²)/1000 = 150 + 1,71 = 151,7 kPa

Risposta

p₁ = 151,7 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 2,41 L/s

Velocità nel tubo

Pelo libero e uscita sono entrambi aperti all’aria, quindi i termini di pressione si elidono.

v = √(2g·3) = √(2·9,81·3) = 7,672 m/s

Portata

Q = A·v = 0,0003142·7,672 = 0,00241 m³/s = 2,41 L/s

Risposta

Q = 2,41 L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 16,45 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità media

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,06/0,01767 = 3,395 m/s

Altezza cinetica

V²/(2g) = 3,395²/(2·9,81) = 0,5876 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(150/0,15)·3,395²/(2·9,81) = 16,45 m

Risposta

h_f = 16,45 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Q = 141,5 L/s

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,015·300/0,25 = 18

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Equazione dell’energia

Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.

13 = (18 + 12,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·13/30,7) = 2,882 m/s

Portata

Q = V·π·D²/4 = 2,882·0,04909 = 0,1415 m³/s = 141,5 L/s

Risposta

Q = 141,5 L/s

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_el = 8,028 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·24 = 5,886 kW

Potenza all’albero

P_shaft = 5,886/0,78 = 7,546 kW

Potenza elettrica

P_el = 7,546/0,94 = 8,028 kW

Risposta

P_el = 8,028 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 13,89 m

Velocità

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14,4 + 4)·0,2115 = 3,892 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.

H = Δz + h_L = 10 + 3,892 = 13,89 m

Risposta

H = 13,89 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 0,09016 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = 0,159 m², R = D/4 = 0,1125 m

Velocità

V = (1/0,013)·0,1125^2/3·0,001^1/2 = 0,5669 m/s

Portata

Q = A·V = 0,159·0,5669 = 0,09016 m³/s

Risposta

Q = 0,09016 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,0004727 m/m

Geometria

A = b·y = 2·1,4 = 2,8 m²

P = b + 2y = 2 + 2·1,4 = 4,8 m

R = A/P = 0,5833 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·1,7/(2,8·0,6981) = 0,02174

S = 0,02174² = 0,0004727

Risposta

S = 0,0004727

Questo corrisponde a un dislivello di 0,4727 m per chilometro.

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