Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 3 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre a 19 L/s in un tubo orizzontale che si restringe da 100 mm a 50 mm. La pressione nella sezione stretta è 130 kPa. Trascurando le perdite, trova la pressione p₁ nella sezione larga.

Q = 19 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₂ = 130 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 150 mm a 100 mm salendo di 7 m. Nella sezione 1 la pressione è 330 kPa e la velocità è 2,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nella sezione 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 330 kPav₁ = 2,5 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una velocità media di 1,2 m/s in un tubo lungo 50 m con diametro interno di 150 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

V = 1,2 m/sL = 50 mD = 150 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 400 m con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 5) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa con rendimento del 80% eroga 20 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 54 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero P_shaft necessaria, in kW.

Q = 20 L/sH = 54 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 6 m più in alto. Il tubo è lungo 400 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 100 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 50 L/sΔz = 6 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 8p_tank = 100 kPa

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale trapezoidale in terra pulita ha una larghezza di fondo di 1 m e una scarpa delle sponde di 2:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1 m. n di Manning = 0,022 e la pendenza del fondo è S = 0,0008. Trova la portata Q in m³/s.

b = 1 my = 1 mz = 2n = 0,022S = 0,0008

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale trapezoidale in ghiaia con larghezza di fondo di 1 m e scarpa delle sponde di 1,5:1 (orizzontale:verticale) deve convogliare 1,2 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 0,8 m. n di Manning = 0,025. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 1,2 m³/sb = 1 my = 0,8 mz = 1,5n = 0,025

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 22,07 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·1,5 = 22,07 kN

Risposta

F = 22,07 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 4,667 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·6 = 264,9 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4,5 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 4,5/(4,5·6) = 4,667 m

Risposta

y_cp = 4,667 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₁ = 173,9 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità

v₁ = Q/A₁ = 0,019/0,007854 = 2,419 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,019/0,001963 = 9,677 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 130 + ½·1000·(9,677² − 2,419²)/1000 = 130 + 43,89 = 173,9 kPa

Risposta

p₁ = 173,9 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 248,6 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,5·(150/100)² = 5,625 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,5² − 5,625²)/1000 = −12,7 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 330 + (−12,7) − 68,67 = 248,6 kPa

Risposta

p₂ = 248,6 kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 0,4404 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 1,2²/(2·9,81) = 0,07339 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(50/0,15)·1,2²/(2·9,81) = 0,4404 m

Risposta

h_f = 0,4404 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 9,473 m

Velocità

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,015·400/0,25 = 24

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Perdita di carico totale

h_f = 24·0,3046 = 7,31 m

h_m = 7,1·0,3046 = 2,163 m

Δz = h_f + h_m = 9,473 m

Risposta

Δz = 9,473 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 13,24 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·54 = 10,59 kW

Potenza all’albero

P_shaft = P_h/η = 10,59/0,8 = 13,24 kW

Risposta

P_shaft = 13,24 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 39,04 m

Velocità

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (48 + 8)·0,408 = 22,85 m

Altezza piezometrica

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 10,19 + 22,85 = 39,04 m

Risposta

H = 39,04 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 2,584 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1 + 2·1)·1 = 3 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1·√(1 + 2²) = 5,472 m

R = A/P = 0,5482 m

Velocità

V = (1/0,022)·0,5482^2/3·0,0008^1/2 = 0,8612 m/s

Portata

Q = A·V = 3·0,8612 = 2,584 m³/s

Risposta

Q = 2,584 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,0008349 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1 + 1,5·0,8)·0,8 = 1,76 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·0,8·√(1 + 1,5²) = 3,884 m

R = A/P = 0,4531 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·1,2/(1,76·0,5899) = 0,02889

S = 0,02889² = 0,0008349

Risposta

S = 0,0008349

Questo corrisponde a un dislivello di 0,8349 m per chilometro.

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