Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua di mare, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 3 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre a 20 L/s in un tubo orizzontale che si restringe da 150 mm a 75 mm. La pressione nella sezione stretta è 70 kPa. Trascurando le perdite, trova la pressione p₁ nella sezione larga.

Q = 20 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₂ = 70 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’ugello di una fontana è rivolto verso l’alto. Appena sotto l’ugello il tubo di alimentazione ha un diametro di 75 mm e una pressione relativa di 80 kPa. Il diametro di uscita dell’ugello è 40 mm e il dislivello attraverso l’ugello è trascurabile. Trascurando le perdite e la resistenza dell’aria, trova l’altezza H a cui il getto sale sopra l’ugello. Usa g = 9,81 m/s².

d₁ = 75 mmp₁ = 80 kPa (relativa)d₂ = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una portata di 40 L/s in un tubo lungo 200 m con diametro interno di 250 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

Q = 40 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Un tubo lungo 100 m con diametro interno di 100 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,018) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 5). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 20 L/s?

Q = 20 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5

H = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa con rendimento del 72% eroga 15 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 68 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero P_shaft necessaria, in kW.

Q = 15 L/sH = 68 mη = 72%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 120 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 8 m più in alto. Il tubo è lungo 100 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 120 L/sΔz = 8 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 6

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale rettangolare in calcestruzzo lisciato è largo 4 m. L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1,1 m. n di Manning = 0,012 e la pendenza del fondo è S = 0,004. Trova la portata Q in m³/s.

b = 4 my = 1,1 mn = 0,012S = 0,004

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale rettangolare in ghiaia largo 4,5 m deve convogliare 13 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,2 m. n di Manning = 0,025. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 13 m³/sb = 4,5 my = 1,2 mn = 0,025

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 42,92 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·2,5 = 42,92 kN

Risposta

F = 42,92 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 56,56 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,75·1,5 = 56,56 kN

Risposta

F = 56,56 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₁ = 79,61 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità

v₁ = Q/A₁ = 0,02/0,01767 = 1,132 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,02/0,004418 = 4,527 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 70 + ½·1000·(4,527² − 1,132²)/1000 = 70 + 9,607 = 79,61 kPa

Risposta

p₁ = 79,61 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: H = 8,873 m

Velocità di uscita

β = 40/75 = 0,5333

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·80000/(1000·0,9191)) = 13,19 m/s

Altezza del getto

Bernoulli lungo il getto: in cima la velocità è nulla e la pressione è di nuovo atmosferica.

H = v₂²/(2g) = 13,19²/(2·9,81) = 8,873 m

Risposta

H = 8,873 m

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 0,4874 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità media

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,04/0,04909 = 0,8149 m/s

Altezza cinetica

V²/(2g) = 0,8149²/(2·9,81) = 0,03384 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(200/0,25)·0,8149²/(2·9,81) = 0,4874 m

Risposta

h_f = 0,4874 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: H = 8,494 m

Velocità

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,018·100/0,1 = 18

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 = 6,7

Equazione dell’energia

Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.

H = (1 + 18 + 6,7)·0,3305 = 8,494 m

Risposta

H = 8,494 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 13,9 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·68 = 10,01 kW

Potenza all’albero

P_shaft = P_h/η = 10,01/0,72 = 13,9 kW

Risposta

P_shaft = 13,9 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 11,66 m

Velocità

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (6 + 6)·0,3046 = 3,655 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.

H = Δz + h_L = 8 + 3,655 = 11,66 m

Risposta

H = 11,66 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 18,45 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = b·y = 4·1,1 = 4,4 m²

P = b + 2y = 4 + 2·1,1 = 6,2 m

R = A/P = 0,7097 m

Velocità

V = (1/0,012)·0,7097^2/3·0,004^1/2 = 4,193 m/s

Portata

Q = A·V = 4,4·4,193 = 18,45 m³/s

Risposta

Q = 18,45 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,005022 m/m

Geometria

A = b·y = 4,5·1,2 = 5,4 m²

P = b + 2y = 4,5 + 2·1,2 = 6,9 m

R = A/P = 0,7826 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·13/(5,4·0,8492) = 0,07087

S = 0,07087² = 0,005022

Risposta

S = 0,005022

Questo corrisponde a un dislivello di 5,022 m per chilometro.

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