Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di olio, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 2,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 75 mm a 40 mm. Nel tratto largo la pressione è 170 kPa e la velocità è 0,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nel tratto stretto.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 170 kPav₁ = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un serbatoio d’acqua chiuso contiene aria compressa sopra l’acqua a una pressione relativa di 60 kPa. L’acqua esce all’aria aperta attraverso un’apertura con diametro di 40 mm, 5 m sotto il pelo libero. Trascurando le perdite, trova la velocità del getto v. Usa g = 9,81 m/s².

p_air = 60 kPa (relativa)h = 5 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 0,9 m/s in un tubo orizzontale lungo 100 m con diametro interno di 150 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 0,9 m/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 300 m con diametro interno di 300 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 5) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

In una prova, una pompa eroga 15 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 66 m mentre il suo albero assorbe 14,9 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.

Q = 15 L/sH = 66 mP_shaft = 14,9 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 75 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 9 m più in alto. Il tubo è lungo 200 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 5 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 100 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 75 L/sΔz = 9 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 5p_tank = 100 kPa

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un collettore per acque meteoriche in calcestruzzo con diametro interno di 1200 mm scorre mezzo pieno. n di Manning = 0,013 e la pendenza è S = 0,0005. Trova la portata Q in m³/s.

D = 1200 mmn = 0,013S = 0,0005

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale rettangolare in terra rivestita d’erba largo 3 m deve convogliare 2,4 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 0,9 m. n di Manning = 0,03. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 2,4 m³/sb = 3 my = 0,9 mn = 0,03

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 206 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·6 = 206 kN

Risposta

F = 206 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 4,188 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4·6 = 207,2 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4,5 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 4,5/(4·6) = 4,188 m

Risposta

y_cp = 4,188 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 168,6 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(75/40)² = 1,758 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 1,758²)/1000 = −1,42 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 170 + (−1,42) = 168,6 kPa

Risposta

p₂ = 168,6 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: v = 14,77 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli dal pelo libero al getto

v = √(2·(60000/1000 + 9,81·5)) = 14,77 m/s

Risposta

v = 14,77 m/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 4,86 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(100/0,15)·0,9²/(2·9,81) = 0,4954 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·0,4954 = 4860 Pa = 4,86 kPa

Risposta

Δp = 4,86 kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 4,803 m

Velocità

V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,025·300/0,3 = 25

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Perdita di carico totale

h_f = 25·0,1469 = 3,672 m

h_m = 7,7·0,1469 = 1,131 m

Δz = h_f + h_m = 4,803 m

Risposta

Δz = 4,803 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: η = 65,18 %

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·66 = 9,712 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 9,712/14,9 = 65,18%

Risposta

η = 65,18%

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 21,5 m

Velocità

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14,4 + 5)·0,119 = 2,308 m

Altezza piezometrica

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 9 + 10,19 + 2,308 = 21,5 m

Risposta

H = 21,5 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 0,4359 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = 0,5655 m², R = D/4 = 0,3 m

Velocità

V = (1/0,013)·0,3^2/3·0,0005^1/2 = 0,7708 m/s

Portata

Q = A·V = 0,5655·0,7708 = 0,4359 m³/s

Risposta

Q = 0,4359 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,001531 m/m

Geometria

A = b·y = 3·0,9 = 2,7 m²

P = b + 2y = 3 + 2·0,9 = 4,8 m

R = A/P = 0,5625 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·2,4/(2,7·0,6814) = 0,03913

S = 0,03913² = 0,001531

Risposta

S = 0,001531

Questo corrisponde a un dislivello di 1,531 m per chilometro.

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