Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di olio, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua defluisce da un grande serbatoio aperto attraverso una luce a spigolo vivo con diametro di 20 mm. Il livello dell’acqua è mantenuto 3,5 m sopra la luce e il coefficiente di efflusso è 0,61. Trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².

d = 20 mmh = 3,5 mC_d = 0,61g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un tubo flessibile con diametro interno di 25 mm aspira acqua a sifone da un serbatoio aperto. Il punto più alto C del tubo è 2,5 m sopra il pelo libero, e l’uscita (aperta all’aria) è 4,5 m sotto il pelo libero. Trascura le perdite e assumi g = 9,81 m/s². Trova la portata Q.

d = 25 mmz_C = +2,5 mz₂ = −4,5 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una velocità media di 2 m/s in un tubo lungo 150 m con diametro interno di 75 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

V = 2 m/sL = 150 mD = 75 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Un tubo lungo 200 m con diametro interno di 200 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,022) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 10). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10

H = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

In una prova, una pompa eroga 25 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 30 m mentre il suo albero assorbe 8,7 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.

Q = 25 L/sH = 30 mP_shaft = 8,7 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 75 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 7 m più in alto. Il tubo è lungo 500 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 5 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 78%. Trova la potenza all’albero P_shaft in kW.

Q = 75 L/sΔz = 7 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 5η = 78%

P_shaft = kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale rettangolare in muratura in mattoni è largo 2 m. L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1,2 m. n di Manning = 0,015 e la pendenza del fondo è S = 0,001. Trova la portata Q in m³/s.

b = 2 my = 1,2 mn = 0,015S = 0,001

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale trapezoidale in muratura in mattoni con larghezza di fondo di 2 m e scarpa delle sponde di 1,5:1 (orizzontale:verticale) deve convogliare 35 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,9 m. n di Manning = 0,015. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 35 m³/sb = 2 my = 1,9 mz = 1,5n = 0,015

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 55,18 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,25·4,5 = 55,18 kN

Risposta

F = 55,18 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 3,308 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,25·2,25 = 63,13 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,25 + 0,4219/(3,25·2,25) = 3,308 m

Risposta

y_cp = 3,308 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 1,588 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità ideale del getto

√(2gh) = √(2·9,81·3,5) = 8,287 m/s

Portata reale

Il coefficiente di efflusso tiene conto della contrazione del getto e dell’attrito sul bordo.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,61·0,0003142·8,287 = 0,001588 m³/s = 1,588 L/s

Risposta

Q = 1,588 L/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 4,612 L/s

Velocità nel tubo

Pelo libero e uscita sono entrambi aperti all’aria, quindi i termini di pressione si elidono.

v = √(2g·4,5) = √(2·9,81·4,5) = 9,396 m/s

Portata

Q = A·v = 0,0004909·9,396 = 0,004612 m³/s = 4,612 L/s

Risposta

Q = 4,612 L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 6,116 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 2²/(2·9,81) = 0,2039 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(150/0,075)·2²/(2·9,81) = 6,116 m

Risposta

h_f = 6,116 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: H = 11,27 m

Velocità

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,022·200/0,2 = 22

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 = 11,1

Equazione dell’energia

Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.

H = (1 + 22 + 11,1)·0,3305 = 11,27 m

Risposta

H = 11,27 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: η = 84,57 %

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·30 = 7,357 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 7,357/8,7 = 84,57%

Risposta

η = 84,57%

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 20,3 kW

Velocità

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (45 + 5)·0,2905 = 14,52 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + h_L = 7 + 14,52 = 21,52 m

Potenza all’albero

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·21,52/0,78 = 20,3 kW

Risposta

P_shaft = 20,3 kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 3,378 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = b·y = 2·1,2 = 2,4 m²

P = b + 2y = 2 + 2·1,2 = 4,4 m

R = A/P = 0,5455 m

Velocità

V = (1/0,015)·0,5455^2/3·0,001^1/2 = 1,407 m/s

Portata

Q = A·V = 2,4·1,407 = 3,378 m³/s

Risposta

Q = 3,378 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,003076 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (2 + 1,5·1,9)·1,9 = 9,215 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·1,9·√(1 + 1,5²) = 8,851 m

R = A/P = 1,041 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·35/(9,215·1,027) = 0,05546

S = 0,05546² = 0,003076

Risposta

S = 0,003076

Questo corrisponde a un dislivello di 3,076 m per chilometro.

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