Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 2 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre in un venturimetro orizzontale con diametro d’ingresso di 150 mm e diametro della gola di 75 mm. La pressione all’ingresso è 54 kPa più alta che nella gola. Trascurando le perdite, trova la portata Q.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ − p₂ = 54 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un tubo flessibile con diametro interno di 32 mm aspira acqua a sifone da un serbatoio aperto. Il punto più alto C del tubo è 3 m sopra il pelo libero, e l’uscita (aperta all’aria) è 1 m sotto il pelo libero. Trascura le perdite e assumi g = 9,81 m/s². Trova la pressione assoluta p_C nel punto C. La pressione atmosferica è 101,3 kPa.

d = 32 mmz_C = +3 mz₂ = −1 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una velocità media di 1,6 m/s in un tubo lungo 500 m con diametro interno di 150 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

V = 1,6 m/sL = 500 mD = 150 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Un tubo lungo 100 m con diametro interno di 100 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,015) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 2). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 15 L/s?

Q = 15 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2

H = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

In una prova, una pompa eroga 150 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 26 m mentre il suo albero assorbe 58,9 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.

Q = 150 L/sH = 26 mP_shaft = 58,9 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 8 m più in alto. Il tubo è lungo 150 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 50 L/sΔz = 8 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 8

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale rettangolare in muratura in mattoni è largo 1,5 m. L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 2,5 m. n di Manning = 0,015 e la pendenza del fondo è S = 0,002. Trova la portata Q in m³/s.

b = 1,5 my = 2,5 mn = 0,015S = 0,002

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un collettore in calcestruzzo con diametro interno di 200 mm (n di Manning = 0,013) deve raggiungere, quando scorre appena pieno, una velocità di autopulizia di 0,6 m/s. Trova la pendenza minima S (in m/m).

D = 200 mmn = 0,013V = 0,6 m/s

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 235,4 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·6 = 235,4 kN

Risposta

F = 235,4 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 3,111 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·3 = 88,29 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 1/(3·3) = 3,111 m

Risposta

y_cp = 3,111 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 47,42 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuità

v₁ = v₂·(75/150)² = 0,25·v₂

Bernoulli tra ingresso e gola

Il tubo è orizzontale, quindi cambiano solo pressione e velocità.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·54000/(1000·(1 − 0,0625))) = 10,73 m/s

v₁ = 2,683 m/s

Portata

Q = A₂·v₂ = 0,004418·10,73 = 0,04742 m³/s = 47,42 L/s

Risposta

Q = 47,42 L/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p_C = 62,06 kPa

Velocità nel tubo

Pelo libero e uscita sono entrambi aperti all’aria, quindi i termini di pressione si elidono.

v = √(2g·1) = √(2·9,81·1) = 4,429 m/s

Bernoulli dal pelo libero a C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(4,429²/2 + 9,81·3)/1000 = 101,3 − 39,24 = 62,06 kPa

Risposta

p_C = 62,06 kPa

Se questa pressione scende alla tensione di vapore dell’acqua, il sifone smette di funzionare.

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 8,699 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 1,6²/(2·9,81) = 0,1305 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(500/0,15)·1,6²/(2·9,81) = 8,699 m

Risposta

h_f = 8,699 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: H = 3,551 m

Velocità

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,015·100/0,1 = 15

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 = 3,1

Equazione dell’energia

Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.

H = (1 + 15 + 3,1)·0,1859 = 3,551 m

Risposta

H = 3,551 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: η = 64,96 %

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·26 = 38,26 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 38,26/58,9 = 64,96%

Risposta

η = 64,96%

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 17,38 m

Velocità

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0,408 = 9,385 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.

H = Δz + h_L = 8 + 9,385 = 17,38 m

Risposta

H = 17,38 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 7,748 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = b·y = 1,5·2,5 = 3,75 m²

P = b + 2y = 1,5 + 2·2,5 = 6,5 m

R = A/P = 0,5769 m

Velocità

V = (1/0,015)·0,5769^2/3·0,002^1/2 = 2,066 m/s

Portata

Q = A·V = 3,75·2,066 = 7,748 m³/s

Risposta

Q = 7,748 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,003303 m/m

Raggio idraulico

R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m

Risolvi Manning rispetto a S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,6/0,1357)² = 0,003303

Risposta

S = 0,003303

Questo corrisponde a un dislivello di 3,303 m per chilometro.

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