Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Idraulica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Moto nei canali a pelo libero (Manning)
- Equazione di Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Portata
- Q = A·V
- Raggio idraulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rettangolo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezio (scarpa z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circolare, pieno o mezzo pieno
- R = D/4
- Pendenza richiesta
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 1 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 0,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuità e BernoulliMedia
Acqua scorre in un venturimetro orizzontale con diametro d’ingresso di 200 mm e diametro della gola di 150 mm. La pressione all’ingresso è 18 kPa più alta che nella gola. Trascurando le perdite, trova la portata Q.
d1 = 200 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 18 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuità e BernoulliDifficile
L’acqua sale in un tubo che si restringe da 150 mm a 100 mm salendo di 6 m. Nella sezione 1 la pressione è 350 kPa e la velocità è 0,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nella sezione 2.
d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 350 kPav1 = 0,5 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua scorre con una portata di 40 L/s in un tubo lungo 50 m con diametro interno di 300 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
Q = 40 L/sL = 50 mD = 300 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 100 m con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 50 L/s?
Q = 50 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
Una pompa eroga 150 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 34 m. Il rendimento della pompa è del 70% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 88%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica Pel assorbita dal motore, in kW.
Q = 150 L/sH = 34 mηpump = 70%ηmotor = 88%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 40 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 14 m più in alto. Il tubo è lungo 600 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 250 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.
Q = 40 L/sΔz = 14 mL = 600 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 8ptank = 250 kPa
H = m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media
Un collettore per acque meteoriche in calcestruzzo con diametro interno di 600 mm scorre mezzo pieno. n di Manning = 0,013 e la pendenza è S = 0,005. Trova la portata Q in m³/s.
D = 600 mmn = 0,013S = 0,005
Q = m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile
Un canale trapezoidale in calcestruzzo grezzo con larghezza di fondo di 2,5 m e scarpa delle sponde di 1,5:1 (orizzontale:verticale) deve convogliare 15 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,8 m. n di Manning = 0,014. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).
Q = 15 m³/sb = 2,5 my = 1,8 mz = 1,5n = 0,014
S = m/m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 25,75 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·1,5 = 25,75 kN
Risposta
F = 25,75 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: F = 37,08 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·1,5·2 = 37,08 kN
Risposta
F = 37,08 kN
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: Q = 128,2 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuità
v1 = v2·(150/200)² = 0,5625·v2
Bernoulli tra ingresso e gola
Il tubo è orizzontale, quindi cambiano solo pressione e velocità.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·18000/(1000·(1 − 0,3164))) = 7,257 m/s
v1 = 4,082 m/s
Portata
Q = A2·v2 = 0,01767·7,257 = 0,1282 m³/s = 128,2 L/s
Risposta
Q = 128,2 L/s
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 290,6 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(150/100)² = 1,125 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 1,125²)/1000 = −0,5078 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·6/1000 = 58,86 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 350 + (−0,5078) − 58,86 = 290,6 kPa
Risposta
p2 = 290,6 kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: hf = 0,0408 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità media
A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²
V = Q/A = 0,04/0,07069 = 0,5659 m/s
Altezza cinetica
V²/(2g) = 0,5659²/(2·9,81) = 0,01632 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(50/0,3)·0,5659²/(2·9,81) = 0,0408 m
Risposta
hf = 0,0408 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Δz = 0,7774 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità
V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s
V²/(2g) = 0,05288 m
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,025·100/0,25 = 10
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7
Perdita di carico totale
hf = 10·0,05288 = 0,5288 m
hm = 4,7·0,05288 = 0,2485 m
Δz = hf + hm = 0,7774 m
Risposta
Δz = 0,7774 m
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pel = 81,22 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·34 = 50,03 kW
Potenza all’albero
Pshaft = 50,03/0,7 = 71,47 kW
Potenza elettrica
Pel = 71,47/0,88 = 81,22 kW
Risposta
Pel = 81,22 kW
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: H = 62,46 m
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s
V²/(2g) = 0,2611 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (80 + 8)·0,2611 = 22,98 m
Altezza piezometrica
p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m
Prevalenza della pompa
Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 14 + 25,48 + 22,98 = 62,46 m
Risposta
H = 62,46 m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: Q = 0,2171 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = 0,1414 m², R = D/4 = 0,15 m
Velocità
V = (1/0,013)·0,152/3·0,0051/2 = 1,536 m/s
Portata
Q = A·V = 0,1414·1,536 = 0,2171 m³/s
Risposta
Q = 0,2171 m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: S = 0,000477 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1,5·1,8)·1,8 = 9,36 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,8·√(1 + 1,5²) = 8,99 m
R = A/P = 1,041 m
Risolvi Manning rispetto a S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,014·15/(9,36·1,027) = 0,02184
S = 0,02184² = 0,000477
Risposta
S = 0,000477
Questo corrisponde a un dislivello di 0,477 m per chilometro.
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