Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di olio, con il bordo superiore 4 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 4 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua defluisce da un grande serbatoio aperto attraverso una luce a spigolo vivo con diametro di 50 mm. Il livello dell’acqua è mantenuto 1,5 m sopra la luce e il coefficiente di efflusso è 0,65. Trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².

d = 50 mmh = 1,5 mC_d = 0,65g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un serbatoio d’acqua chiuso contiene aria compressa sopra l’acqua a una pressione relativa di 100 kPa. L’acqua esce all’aria aperta attraverso un’apertura con diametro di 30 mm, 4,5 m sotto il pelo libero. Trascurando le perdite, trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².

p_air = 100 kPa (relativa)h = 4,5 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 1,8 m/s in un tubo orizzontale lungo 500 m con diametro interno di 250 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 1,8 m/sL = 500 mD = 250 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 150 m con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 23 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.

Δz = 23 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa eroga 40 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 46 m. Il rendimento della pompa è del 70% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 88%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica P_el assorbita dal motore, in kW.

Q = 40 L/sH = 46 mη_pump = 70%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 75 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 5 m più in alto. Il tubo è lungo 150 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 3 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 78%. Trova la potenza all’albero P_shaft in kW.

Q = 75 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 3η = 78%

P_shaft = kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale rettangolare in terra rivestita d’erba è largo 2,5 m. L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1,1 m. n di Manning = 0,03 e la pendenza del fondo è S = 0,003. Trova la portata Q in m³/s.

b = 2,5 my = 1,1 mn = 0,03S = 0,003

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale rettangolare in terra rivestita d’erba largo 2 m deve convogliare 3,6 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 2,4 m. n di Manning = 0,03. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 3,6 m³/sb = 2 my = 2,4 mn = 0,03

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 60,7 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·2,25 = 60,7 kN

Risposta

F = 60,7 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 170 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·5,25·3,75 = 170 kN

Risposta

F = 170 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 6,924 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità ideale del getto

√(2gh) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s

Portata reale

Il coefficiente di efflusso tiene conto della contrazione del getto e dell’attrito sul bordo.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,65·0,001963·5,425 = 0,006924 m³/s = 6,924 L/s

Risposta

Q = 6,924 L/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 12 L/s

Bernoulli dal pelo libero al getto

v = √(2·(100000/1000 + 9,81·4,5)) = 16,98 m/s

Portata

Q = A·v = 0,0007069·16,98 = 0,012 m³/s = 12 L/s

Risposta

Q = 12 L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 58,32 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(500/0,25)·1,8²/(2·9,81) = 5,945 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·5,945 = 58320 Pa = 58,32 kPa

Risposta

Δp = 58,32 kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Q = 75,53 L/s

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,02·150/0,15 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Equazione dell’energia

Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.

23 = (20 + 4,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·23/24,7) = 4,274 m/s

Portata

Q = V·π·D²/4 = 4,274·0,01767 = 0,07553 m³/s = 75,53 L/s

Risposta

Q = 75,53 L/s

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_el = 29,3 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·46 = 18,05 kW

Potenza all’albero

P_shaft = 18,05/0,7 = 25,79 kW

Potenza elettrica

P_el = 25,79/0,88 = 29,3 kW

Risposta

P_el = 29,3 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 6,535 kW

Velocità

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13,2 + 3)·0,119 = 1,928 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + h_L = 5 + 1,928 = 6,928 m

Potenza all’albero

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·6,928/0,78 = 6,535 kW

Risposta

P_shaft = 6,535 kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 3,512 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = b·y = 2,5·1,1 = 2,75 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·1,1 = 4,7 m

R = A/P = 0,5851 m

Velocità

V = (1/0,03)·0,5851^2/3·0,003^1/2 = 1,277 m/s

Portata

Q = A·V = 2,75·1,277 = 3,512 m³/s

Risposta

Q = 3,512 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,0008055 m/m

Geometria

A = b·y = 2·2,4 = 4,8 m²

P = b + 2y = 2 + 2·2,4 = 6,8 m

R = A/P = 0,7059 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·3,6/(4,8·0,7928) = 0,02838

S = 0,02838² = 0,0008055

Risposta

S = 0,0008055

Questo corrisponde a un dislivello di 0,8055 m per chilometro.

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