Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre in un venturimetro orizzontale con diametro d’ingresso di 150 mm e diametro della gola di 100 mm. La pressione all’ingresso è 58 kPa più alta che nella gola. Trascurando le perdite, trova la portata Q.

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ − p₂ = 58 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 150 mm a 75 mm salendo di 9 m. Nella sezione 1 la pressione è 360 kPa e la velocità è 0,75 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nella sezione 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 360 kPav₁ = 0,75 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 1 m/s in un tubo orizzontale lungo 100 m con diametro interno di 100 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 1 m/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 200 m con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 13 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.

Δz = 13 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

In una prova, una pompa eroga 20 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 60 m mentre il suo albero assorbe 15,7 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.

Q = 20 L/sH = 60 mP_shaft = 15,7 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 120 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 24 m più in alto. Il tubo è lungo 300 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 72%. Trova la potenza all’albero P_shaft in kW.

Q = 120 L/sΔz = 24 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 8η = 72%

P_shaft = kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale trapezoidale in ghiaia ha una larghezza di fondo di 4,5 m e una scarpa delle sponde di 1,5:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 0,7 m. n di Manning = 0,025 e la pendenza del fondo è S = 0,0008. Trova la portata Q in m³/s.

b = 4,5 my = 0,7 mz = 1,5n = 0,025S = 0,0008

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale trapezoidale in ghiaia con larghezza di fondo di 4 m e scarpa delle sponde di 1:1 (orizzontale:verticale) deve convogliare 8,9 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1 m. n di Manning = 0,025. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 8,9 m³/sb = 4 my = 1 mz = 1n = 0,025

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 206 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·6 = 206 kN

Risposta

F = 206 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 206 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·6 = 206 kN

Risposta

F = 206 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 94,43 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuità

v₁ = v₂·(100/150)² = 0,4444·v₂

Bernoulli tra ingresso e gola

Il tubo è orizzontale, quindi cambiano solo pressione e velocità.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·58000/(1000·(1 − 0,1975))) = 12,02 m/s

v₁ = 5,344 m/s

Portata

Q = A₂·v₂ = 0,007854·12,02 = 0,09443 m³/s = 94,43 L/s

Risposta

Q = 94,43 L/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 267,5 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(150/75)² = 3 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 3²)/1000 = −4,219 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 360 + (−4,219) − 88,29 = 267,5 kPa

Risposta

p₂ = 267,5 kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 15 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(100/0,1)·1²/(2·9,81) = 1,529 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,529 = 15000 Pa = 15 kPa

Risposta

Δp = 15 kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Q = 56,79 L/s

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,015·200/0,15 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Equazione dell’energia

Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.

13 = (20 + 4,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·13/24,7) = 3,213 m/s

Portata

Q = V·π·D²/4 = 3,213·0,01767 = 0,05679 m³/s = 56,79 L/s

Risposta

Q = 56,79 L/s

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: η = 74,98 %

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·60 = 11,77 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 11,77/15,7 = 74,98%

Risposta

η = 74,98%

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 55,18 kW

Velocità

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 8)·0,3046 = 9,747 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + h_L = 24 + 9,747 = 33,75 m

Potenza all’albero

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·33,75/0,72 = 55,18 kW

Risposta

P_shaft = 55,18 kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 2,962 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 1,5·0,7)·0,7 = 3,885 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·0,7·√(1 + 1,5²) = 7,024 m

R = A/P = 0,5531 m

Velocità

V = (1/0,025)·0,5531^2/3·0,0008^1/2 = 0,7623 m/s

Portata

Q = A·V = 3,885·0,7623 = 2,962 m³/s

Risposta

Q = 2,962 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,003 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (4 + 1·1)·1 = 5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1·√(1 + 1²) = 6,828 m

R = A/P = 0,7322 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·8,9/(5·0,8124) = 0,05478

S = 0,05478² = 0,003

Risposta

S = 0,003

Questo corrisponde a un dislivello di 3 m per chilometro.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering