Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Idraulica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Moto nei canali a pelo libero (Manning)
- Equazione di Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Portata
- Q = A·V
- Raggio idraulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rettangolo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezio (scarpa z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circolare, pieno o mezzo pieno
- R = D/4
- Pendenza richiesta
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
d = 1 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuità e BernoulliMedia
Un tubo di Pitot statico in una condotta d’acqua indica una differenza di 26 kPa tra la pressione di ristagno e la pressione statica. Trova la velocità dell’acqua v alla punta.
p0 − p = 26 kPaρ = 1000 kg/m³
v = m/s
4.Continuità e BernoulliDifficile
Un venturimetro orizzontale (ingresso 150 mm, gola 100 mm) è attraversato da acqua. Un manometro differenziale a U a mercurio collegato tra ingresso e gola mostra un dislivello di 120 mm. Il coefficiente di efflusso è 0,97. Trova la portata Q. Usa ρ = 1000 kg/m³ per l’acqua, 13 600 kg/m³ per il mercurio e g = 9,81 m/s².
d1 = 150 mmd2 = 100 mmΔh = 120 mmCd = 0,97ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua scorre con una velocità media di 0,8 m/s in un tubo lungo 1000 m con diametro interno di 50 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
V = 0,8 m/sL = 1000 mD = 50 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 400 m con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 21 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 10) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.
Δz = 21 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
Una pompa con rendimento del 78% eroga 150 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 34 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero Pshaft necessaria, in kW.
Q = 150 L/sH = 34 mη = 78%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 75 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 6 m più in alto. Il tubo è lungo 100 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 4 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 150 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.
Q = 75 L/sΔz = 6 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,015ΣK = 4ptank = 150 kPa
H = m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media
Un canale rettangolare in calcestruzzo lisciato è largo 5,5 m. L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1,6 m. n di Manning = 0,012 e la pendenza del fondo è S = 0,005. Trova la portata Q in m³/s.
b = 5,5 my = 1,6 mn = 0,012S = 0,005
Q = m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile
Un canale trapezoidale in muratura in mattoni con larghezza di fondo di 1,5 m e scarpa delle sponde di 3:1 (orizzontale:verticale) deve convogliare 15 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,5 m. n di Manning = 0,015. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).
Q = 15 m³/sb = 1,5 my = 1,5 mz = 3n = 0,015
S = m/m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 235,4 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4·6 = 235,4 kN
Risposta
F = 235,4 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: ycp = 1,857 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·4,5 = 77,25 kN
Centro di spinta
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Ic = b·H³/12 = 3·1,5³/12 = 0,8438 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1,75 + 0,8438/(1,75·4,5) = 1,857 m
Risposta
ycp = 1,857 m
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: v = 7,211 m/s
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Bernoulli fino al punto di ristagno
Il flusso si arresta alla punta, quindi la sua energia cinetica si manifesta come pressione aggiuntiva.
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·26000/1000) = 7,211 m/s
Risposta
v = 7,211 m/s
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: Q = 46,32 L/s
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Differenza di pressione dal manometro
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,12 = 14833 Pa
Velocità nella gola
Continuità e Bernoulli insieme danno la velocità ideale nella gola.
β = 100/150 = 0,6667
v2 = √(2·14833/(1000·(1 − 0,1975))) = 6,08 m/s
Portata reale
Q = Cd·A2·v2 = 0,97·0,007854·6,08 = 0,04632 m³/s = 46,32 L/s
Risposta
Q = 46,32 L/s
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: hf = 19,57 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Altezza cinetica
V²/(2g) = 0,8²/(2·9,81) = 0,03262 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(1000/0,05)·0,8²/(2·9,81) = 19,57 m
Risposta
hf = 19,57 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Q = 155,2 L/s
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,018·400/0,25 = 28,8
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4
Equazione dell’energia
Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.
21 = (28,8 + 12,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·21/41,2) = 3,162 m/s
Portata
Q = V·π·D²/4 = 3,162·0,04909 = 0,1552 m³/s = 155,2 L/s
Risposta
Q = 155,2 L/s
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pshaft = 64,14 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·34 = 50,03 kW
Potenza all’albero
Pshaft = Ph/η = 50,03/0,78 = 64,14 kW
Risposta
Pshaft = 64,14 kW
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: H = 22,48 m
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s
V²/(2g) = 0,119 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (6 + 4)·0,119 = 1,19 m
Altezza piezometrica
p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m
Prevalenza della pompa
Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 6 + 15,29 + 1,19 = 22,48 m
Risposta
H = 22,48 m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: Q = 52,25 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = b·y = 5,5·1,6 = 8,8 m²
P = b + 2y = 5,5 + 2·1,6 = 8,7 m
R = A/P = 1,011 m
Velocità
V = (1/0,012)·1,0112/3·0,0051/2 = 5,938 m/s
Portata
Q = A·V = 8,8·5,938 = 52,25 m³/s
Risposta
Q = 52,25 m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: S = 0,0008154 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (1,5 + 3·1,5)·1,5 = 9 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1,5·√(1 + 3²) = 10,99 m
R = A/P = 0,8192 m
Risolvi Manning rispetto a S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,015·15/(9·0,8755) = 0,02856
S = 0,02856² = 0,0008154
Risposta
S = 0,0008154
Questo corrisponde a un dislivello di 0,8154 m per chilometro.
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