Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Idraulica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Moto nei canali a pelo libero (Manning)
- Equazione di Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Portata
- Q = A·V
- Raggio idraulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rettangolo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezio (scarpa z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circolare, pieno o mezzo pieno
- R = D/4
- Pendenza richiesta
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 1 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
d = 1,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuità e BernoulliMedia
Acqua scorre in un venturimetro orizzontale con diametro d’ingresso di 150 mm e diametro della gola di 75 mm. La pressione all’ingresso è 9 kPa più alta che nella gola. Trascurando le perdite, trova la portata Q.
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 − p2 = 9 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuità e BernoulliDifficile
Un serbatoio d’acqua chiuso contiene aria compressa sopra l’acqua a una pressione relativa di 20 kPa. L’acqua esce all’aria aperta attraverso un’apertura con diametro di 30 mm, 1,5 m sotto il pelo libero. Trascurando le perdite, trova la velocità del getto v. Usa g = 9,81 m/s².
pair = 20 kPa (relativa)h = 1,5 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
v = m/s
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua scorre con una portata di 100 L/s in un tubo lungo 200 m con diametro interno di 300 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
Q = 100 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 100 m con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 13 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 10) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.
Δz = 13 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
Una pompa con rendimento del 72% eroga 20 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 62 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero Pshaft necessaria, in kW.
Q = 20 L/sH = 62 mη = 72%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 75 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 10 m più in alto. Il tubo è lungo 300 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 5 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.
Q = 75 L/sΔz = 10 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 5
H = m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media
Un canale trapezoidale in calcestruzzo grezzo ha una larghezza di fondo di 2,5 m e una scarpa delle sponde di 1:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1 m. n di Manning = 0,014 e la pendenza del fondo è S = 0,004. Trova la portata Q in m³/s.
b = 2,5 my = 1 mz = 1n = 0,014S = 0,004
Q = m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile
Un collettore in calcestruzzo con diametro interno di 300 mm (n di Manning = 0,013) deve raggiungere, quando scorre appena pieno, una velocità di autopulizia di 0,6 m/s. Trova la pendenza minima S (in m/m).
D = 300 mmn = 0,013V = 0,6 m/s
S = m/m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 25,75 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·1,5 = 25,75 kN
Risposta
F = 25,75 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: ycp = 3,25 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·3·9 = 333,7 kN
Centro di spinta
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Ic = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 6,75/(3·9) = 3,25 m
Risposta
ycp = 3,25 m
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: Q = 19,36 L/s
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità
v1 = v2·(75/150)² = 0,25·v2
Bernoulli tra ingresso e gola
Il tubo è orizzontale, quindi cambiano solo pressione e velocità.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·9000/(1000·(1 − 0,0625))) = 4,382 m/s
v1 = 1,095 m/s
Portata
Q = A2·v2 = 0,004418·4,382 = 0,01936 m³/s = 19,36 L/s
Risposta
Q = 19,36 L/s
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: v = 8,332 m/s
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Bernoulli dal pelo libero al getto
v = √(2·(20000/1000 + 9,81·1,5)) = 8,332 m/s
Risposta
v = 8,332 m/s
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: hf = 1,496 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità media
A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²
V = Q/A = 0,1/0,07069 = 1,415 m/s
Altezza cinetica
V²/(2g) = 1,415²/(2·9,81) = 0,102 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(200/0,3)·1,415²/(2·9,81) = 1,496 m
Risposta
hf = 1,496 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Q = 175,7 L/s
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,018·100/0,25 = 7,2
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7
Equazione dell’energia
Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.
13 = (7,2 + 12,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·13/19,9) = 3,58 m/s
Portata
Q = V·π·D²/4 = 3,58·0,04909 = 0,1757 m³/s = 175,7 L/s
Risposta
Q = 175,7 L/s
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pshaft = 16,9 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·62 = 12,16 kW
Potenza all’albero
Pshaft = Ph/η = 12,16/0,72 = 16,9 kW
Risposta
Pshaft = 16,9 kW
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: H = 21,04 m
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33 + 5)·0,2905 = 11,04 m
Prevalenza della pompa
Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.
H = Δz + hL = 10 + 11,04 = 21,04 m
Risposta
H = 21,04 m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: Q = 11,95 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (2,5 + 1·1)·1 = 3,5 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1·√(1 + 1²) = 5,328 m
R = A/P = 0,6569 m
Velocità
V = (1/0,014)·0,65692/3·0,0041/2 = 3,414 m/s
Portata
Q = A·V = 3,5·3,414 = 11,95 m³/s
Risposta
Q = 11,95 m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: S = 0,001924 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Raggio idraulico
R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m
Risolvi Manning rispetto a S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,6/0,1778)² = 0,001924
Risposta
S = 0,001924
Questo corrisponde a un dislivello di 1,924 m per chilometro.
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