Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Idraulica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Moto nei canali a pelo libero (Manning)
- Equazione di Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Portata
- Q = A·V
- Raggio idraulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rettangolo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezio (scarpa z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circolare, pieno o mezzo pieno
- R = D/4
- Pendenza richiesta
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 3 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 1 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuità e BernoulliMedia
L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 150 mm a 75 mm. Nel tratto largo la pressione è 390 kPa e la velocità è 0,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nel tratto stretto.
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 390 kPav1 = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuità e BernoulliDifficile
Un tubo flessibile con diametro interno di 25 mm aspira acqua a sifone da un serbatoio aperto. Il punto più alto C del tubo è 0,5 m sopra il pelo libero, e l’uscita (aperta all’aria) è 4 m sotto il pelo libero. Trascura le perdite e assumi g = 9,81 m/s². Trova la portata Q.
d = 25 mmzC = +0,5 mz2 = −4 mg = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua scorre con una portata di 100 L/s in un tubo lungo 50 m con diametro interno di 200 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
Q = 100 L/sL = 50 mD = 200 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 100 m con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 5) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 100 L/s?
Q = 100 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
In una prova, una pompa eroga 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 66 m mentre il suo albero assorbe 79,7 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.
Q = 80 L/sH = 66 mPshaft = 79,7 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 40 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 5 m più in alto. Il tubo è lungo 100 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 72%. Trova la potenza all’albero Pshaft in kW.
Q = 40 L/sΔz = 5 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 6η = 72%
Pshaft = kW
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media
Un collettore per acque meteoriche in calcestruzzo con diametro interno di 450 mm scorre appena pieno (come canale a pelo libero, non in pressione). n di Manning = 0,013 e la pendenza è S = 0,001. Trova la portata Q in m³/s.
D = 450 mmn = 0,013S = 0,001
Q = m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile
Un canale trapezoidale in terra pulita con larghezza di fondo di 4 m e scarpa delle sponde di 2:1 (orizzontale:verticale) deve convogliare 84 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 2,5 m. n di Manning = 0,022. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).
Q = 84 m³/sb = 4 my = 2,5 mz = 2n = 0,022
S = m/m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 82,77 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,75·2,25 = 82,77 kN
Risposta
F = 82,77 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: F = 82,77 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m
A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,25·3,75 = 82,77 kN
Risposta
F = 82,77 kN
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 388,1 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(150/75)² = 2 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 2²)/1000 = −1,875 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 390 + (−1,875) = 388,1 kPa
Risposta
p2 = 388,1 kPa
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: Q = 4,349 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocità nel tubo
Pelo libero e uscita sono entrambi aperti all’aria, quindi i termini di pressione si elidono.
v = √(2g·4) = √(2·9,81·4) = 8,859 m/s
Portata
Q = A·v = 0,0004909·8,859 = 0,004349 m³/s = 4,349 L/s
Risposta
Q = 4,349 L/s
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: hf = 2,324 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità media
A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²
V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s
Altezza cinetica
V²/(2g) = 3,183²/(2·9,81) = 0,5164 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(50/0,2)·3,183²/(2·9,81) = 2,324 m
Risposta
hf = 2,324 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Δz = 10,12 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità
V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s
V²/(2g) = 0,5164 m
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,025·100/0,2 = 12,5
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1
Perdita di carico totale
hf = 12,5·0,5164 = 6,455 m
hm = 7,1·0,5164 = 3,667 m
Δz = hf + hm = 10,12 m
Risposta
Δz = 10,12 m
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: η = 64,99 %
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·66 = 51,8 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 51,8/79,7 = 64,99%
Risposta
η = 64,99%
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pshaft = 5,002 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s
V²/(2g) = 0,2611 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 6)·0,2611 = 4,178 m
Prevalenza della pompa
H = Δz + hL = 5 + 4,178 = 9,178 m
Potenza all’albero
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·9,178/0,72 = 5,002 kW
Risposta
Pshaft = 5,002 kW
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: Q = 0,09016 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = 0,159 m², R = D/4 = 0,1125 m
Velocità
V = (1/0,013)·0,11252/3·0,0011/2 = 0,5669 m/s
Portata
Q = A·V = 0,159·0,5669 = 0,09016 m³/s
Risposta
Q = 0,09016 m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: S = 0,003992 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (4 + 2·2,5)·2,5 = 22,5 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·2,5·√(1 + 2²) = 15,18 m
R = A/P = 1,482 m
Risolvi Manning rispetto a S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,022·84/(22,5·1,3) = 0,06318
S = 0,06318² = 0,003992
Risposta
S = 0,003992
Questo corrisponde a un dislivello di 3,992 m per chilometro.
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