Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Idraulica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Moto nei canali a pelo libero (Manning)
- Equazione di Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Portata
- Q = A·V
- Raggio idraulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rettangolo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezio (scarpa z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circolare, pieno o mezzo pieno
- R = D/4
- Pendenza richiesta
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 3 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 0,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuità e BernoulliMedia
Acqua scorre a 13 L/s in un tubo orizzontale che si restringe da 150 mm a 100 mm. La pressione nella sezione stretta è 300 kPa. Trascurando le perdite, trova la pressione p1 nella sezione larga.
Q = 13 L/sd1 = 150 mmd2 = 100 mmp2 = 300 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.Continuità e BernoulliDifficile
L’acqua sale in un tubo che si restringe da 100 mm a 50 mm salendo di 7 m. Nella sezione 1 la pressione è 270 kPa e la velocità è 3 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nella sezione 2.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 270 kPav1 = 3 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua scorre con una portata di 75 L/s in un tubo lungo 150 m con diametro interno di 200 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
Q = 75 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 100 m con diametro interno di 100 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 24 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 10) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.
Δz = 24 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
In una prova, una pompa eroga 20 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 80 m mentre il suo albero assorbe 20,1 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.
Q = 20 L/sH = 80 mPshaft = 20,1 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 10 m più in alto. Il tubo è lungo 300 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 65%. Trova la potenza all’albero Pshaft in kW.
Q = 80 L/sΔz = 10 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 8η = 65%
Pshaft = kW
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media
Un canale rettangolare in terra rivestita d’erba è largo 2,5 m. L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1,9 m. n di Manning = 0,03 e la pendenza del fondo è S = 0,0008. Trova la portata Q in m³/s.
b = 2,5 my = 1,9 mn = 0,03S = 0,0008
Q = m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile
Un collettore in calcestruzzo con diametro interno di 250 mm (n di Manning = 0,013) deve raggiungere, quando scorre appena pieno, una velocità di autopulizia di 0,9 m/s. Trova la pendenza minima S (in m/m).
D = 250 mmn = 0,013V = 0,9 m/s
S = m/m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 68,67 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,5·2 = 68,67 kN
Risposta
F = 68,67 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: F = 9,81 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1·1 = 9,81 kN
Risposta
F = 9,81 kN
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: p1 = 301,1 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocità
v1 = Q/A1 = 0,013/0,01767 = 0,7356 m/s
v2 = Q/A2 = 0,013/0,007854 = 1,655 m/s
Bernoulli
p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 300 + ½·1000·(1,655² − 0,7356²)/1000 = 300 + 1,099 = 301,1 kPa
Risposta
p1 = 301,1 kPa
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 133,8 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(100/50)² = 12 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67,5 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 270 + (−67,5) − 68,67 = 133,8 kPa
Risposta
p2 = 133,8 kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: hf = 5,447 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità media
A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
Altezza cinetica
V²/(2g) = 2,387²/(2·9,81) = 0,2905 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(150/0,2)·2,387²/(2·9,81) = 5,447 m
Risposta
hf = 5,447 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Q = 27,87 L/s
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,025·100/0,1 = 25
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4
Equazione dell’energia
Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.
24 = (25 + 12,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·24/37,4) = 3,548 m/s
Portata
Q = V·π·D²/4 = 3,548·0,007854 = 0,02787 m³/s = 27,87 L/s
Risposta
Q = 27,87 L/s
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: η = 78,09 %
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·80 = 15,7 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 15,7/20,1 = 78,09%
Risposta
η = 78,09%
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pshaft = 30,23 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (37,5 + 8)·0,3305 = 15,04 m
Prevalenza della pompa
H = Δz + hL = 10 + 15,04 = 25,04 m
Potenza all’albero
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·25,04/0,65 = 30,23 kW
Risposta
Pshaft = 30,23 kW
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: Q = 3,71 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = b·y = 2,5·1,9 = 4,75 m²
P = b + 2y = 2,5 + 2·1,9 = 6,3 m
R = A/P = 0,754 m
Velocità
V = (1/0,03)·0,7542/3·0,00081/2 = 0,781 m/s
Portata
Q = A·V = 4,75·0,781 = 3,71 m³/s
Risposta
Q = 3,71 m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: S = 0,005519 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Raggio idraulico
R = D/4 = 0,25/4 = 0,0625 m
Risolvi Manning rispetto a S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,9/0,1575)² = 0,005519
Risposta
S = 0,005519
Questo corrisponde a un dislivello di 5,519 m per chilometro.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering