Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua di mare, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 3 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 75 mm a 50 mm. Nel tratto largo la pressione è 200 kPa e la velocità è 1,75 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nel tratto stretto.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 200 kPav₁ = 1,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un venturimetro orizzontale (ingresso 150 mm, gola 100 mm) è attraversato da acqua. Un manometro differenziale a U a mercurio collegato tra ingresso e gola mostra un dislivello di 100 mm. Il coefficiente di efflusso è 0,98. Trova la portata Q. Usa ρ = 1000 kg/m³ per l’acqua, 13 600 kg/m³ per il mercurio e g = 9,81 m/s².

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmΔh = 100 mmC_d = 0,98ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 2,2 m/s in un tubo orizzontale lungo 100 m con diametro interno di 50 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 2,2 m/sL = 100 mD = 50 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Un tubo lungo 100 m con diametro interno di 150 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,022) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 2). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 30 L/s?

Q = 30 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2

H = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa eroga 25 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 16 m. Il rendimento della pompa è del 80% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 92%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica P_el assorbita dal motore, in kW.

Q = 25 L/sH = 16 mη_pump = 80%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 26 m più in alto. Il tubo è lungo 150 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 250 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 50 L/sΔz = 26 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 6p_tank = 250 kPa

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale trapezoidale in ghiaia ha una larghezza di fondo di 5 m e una scarpa delle sponde di 1:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 0,9 m. n di Manning = 0,025 e la pendenza del fondo è S = 0,005. Trova la portata Q in m³/s.

b = 5 my = 0,9 mz = 1n = 0,025S = 0,005

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale rettangolare in muratura in mattoni largo 6 m deve convogliare 2,5 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 0,5 m. n di Manning = 0,015. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 2,5 m³/sb = 6 my = 0,5 mn = 0,015

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 183,9 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·5 = 183,9 kN

Risposta

F = 183,9 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 169,7 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,75·4,5 = 169,7 kN

Risposta

F = 169,7 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 193,8 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,75·(75/50)² = 3,938 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,75² − 3,938²)/1000 = −6,221 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 200 + (−6,221) = 193,8 kPa

Risposta

p₂ = 193,8 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 42,72 L/s

Differenza di pressione dal manometro

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,1 = 12361 Pa

Velocità nella gola

Continuità e Bernoulli insieme danno la velocità ideale nella gola.

β = 100/150 = 0,6667

v₂ = √(2·12361/(1000·(1 − 0,1975))) = 5,55 m/s

Portata reale

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,98·0,007854·5,55 = 0,04272 m³/s = 42,72 L/s

Risposta

Q = 42,72 L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 96,8 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(100/0,05)·2,2²/(2·9,81) = 9,867 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·9,867 = 96800 Pa = 96,8 kPa

Risposta

Δp = 96,8 kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: H = 2,757 m

Velocità

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,022·100/0,15 = 14,67

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 = 3,1

Equazione dell’energia

Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.

H = (1 + 14,67 + 3,1)·0,1469 = 2,757 m

Risposta

H = 2,757 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_el = 5,332 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·16 = 3,924 kW

Potenza all’albero

P_shaft = 3,924/0,8 = 4,905 kW

Potenza elettrica

P_el = 4,905/0,92 = 5,332 kW

Risposta

P_el = 5,332 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 60,05 m

Velocità

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 6)·0,408 = 8,569 m

Altezza piezometrica

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 26 + 25,48 + 8,569 = 60,05 m

Risposta

H = 60,05 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 11,88 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (5 + 1·0,9)·0,9 = 5,31 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·0,9·√(1 + 1²) = 7,546 m

R = A/P = 0,7037 m

Velocità

V = (1/0,025)·0,7037^2/3·0,005^1/2 = 2,238 m/s

Portata

Q = A·V = 5,31·2,238 = 11,88 m³/s

Risposta

Q = 11,88 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,0004836 m/m

Geometria

A = b·y = 6·0,5 = 3 m²

P = b + 2y = 6 + 2·0,5 = 7 m

R = A/P = 0,4286 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·2,5/(3·0,5684) = 0,02199

S = 0,02199² = 0,0004836

Risposta

S = 0,0004836

Questo corrisponde a un dislivello di 0,4836 m per chilometro.

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