Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 2 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 75 mm a 50 mm. Nel tratto largo la pressione è 270 kPa e la velocità è 0,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nel tratto stretto.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 270 kPav₁ = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 75 mm a 50 mm salendo di 8 m. Nella sezione 1 la pressione è 300 kPa e la velocità è 0,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nella sezione 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 300 kPav₁ = 0,5 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una portata di 80 L/s in un tubo lungo 50 m con diametro interno di 300 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

Q = 80 L/sL = 50 mD = 300 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Un tubo lungo 500 m con diametro interno di 300 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,015) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 10). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10

H = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa eroga 10 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 70 m. Il rendimento della pompa è del 70% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 95%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica P_el assorbita dal motore, in kW.

Q = 10 L/sH = 70 mη_pump = 70%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 120 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 20 m più in alto. Il tubo è lungo 100 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 4 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 100 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 120 L/sΔz = 20 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 4p_tank = 100 kPa

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale rettangolare in terra pulita è largo 2,5 m. L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1,4 m. n di Manning = 0,022 e la pendenza del fondo è S = 0,005. Trova la portata Q in m³/s.

b = 2,5 my = 1,4 mn = 0,022S = 0,005

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale trapezoidale in muratura in mattoni con larghezza di fondo di 3,5 m e scarpa delle sponde di 3:1 (orizzontale:verticale) deve convogliare 50 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 2,1 m. n di Manning = 0,015. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 50 m³/sb = 3,5 my = 2,1 mz = 3n = 0,015

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 176,6 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·4,5 = 176,6 kN

Risposta

F = 176,6 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 2,818 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,75·4,5 = 153 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 3·1,5³/12 = 0,8438 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,75 + 0,8438/(2,75·4,5) = 2,818 m

Risposta

y_cp = 2,818 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 269,5 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(75/50)² = 1,125 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 1,125²)/1000 = −0,5078 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 270 + (−0,5078) = 269,5 kPa

Risposta

p₂ = 269,5 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 221 kPa

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(75/50)² = 1,125 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 1,125²)/1000 = −0,5078 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·8/1000 = 78,48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 300 + (−0,5078) − 78,48 = 221 kPa

Risposta

p₂ = 221 kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 0,2394 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità media

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,08/0,07069 = 1,132 m/s

Altezza cinetica

V²/(2g) = 1,132²/(2·9,81) = 0,06529 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(50/0,3)·1,132²/(2·9,81) = 0,2394 m

Risposta

h_f = 0,2394 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: H = 2,461 m

Velocità

V = Q/A = 0,08/0,07069 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,015·500/0,3 = 25

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7

Equazione dell’energia

Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.

H = (1 + 25 + 11,7)·0,06529 = 2,461 m

Risposta

H = 2,461 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_el = 10,33 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·70 = 6,867 kW

Potenza all’albero

P_shaft = 6,867/0,7 = 9,81 kW

Potenza elettrica

P_el = 9,81/0,95 = 10,33 kW

Risposta

P_el = 10,33 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 34,09 m

Velocità

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (8,8 + 4)·0,3046 = 3,899 m

Altezza piezometrica

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 20 + 10,19 + 3,899 = 34,09 m

Risposta

H = 34,09 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 8,531 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = b·y = 2,5·1,4 = 3,5 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·1,4 = 5,3 m

R = A/P = 0,6604 m

Velocità

V = (1/0,022)·0,6604^2/3·0,005^1/2 = 2,437 m/s

Portata

Q = A·V = 3,5·2,437 = 8,531 m³/s

Risposta

Q = 8,531 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,001012 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 3·2,1)·2,1 = 20,58 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·2,1·√(1 + 3²) = 16,78 m

R = A/P = 1,226 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·50/(20,58·1,146) = 0,03181

S = 0,03181² = 0,001012

Risposta

S = 0,001012

Questo corrisponde a un dislivello di 1,012 m per chilometro.

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