Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Idraulica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Moto nei canali a pelo libero (Manning)
- Equazione di Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Portata
- Q = A·V
- Raggio idraulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rettangolo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezio (scarpa z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circolare, pieno o mezzo pieno
- R = D/4
- Pendenza richiesta
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 0,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 1,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuità e BernoulliMedia
L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 100 mm a 50 mm. Nel tratto largo la pressione è 370 kPa e la velocità è 0,75 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nel tratto stretto.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 370 kPav1 = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuità e BernoulliDifficile
Un tubo flessibile con diametro interno di 25 mm aspira acqua a sifone da un serbatoio aperto. Il punto più alto C del tubo è 1 m sopra il pelo libero, e l’uscita (aperta all’aria) è 2 m sotto il pelo libero. Trascura le perdite e assumi g = 9,81 m/s². Trova la portata Q.
d = 25 mmzC = +1 mz2 = −2 mg = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 1,6 m/s in un tubo orizzontale lungo 200 m con diametro interno di 300 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.
V = 1,6 m/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Un tubo lungo 150 m con diametro interno di 250 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,022) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 2). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 60 L/s?
Q = 60 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 2
H = m
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
Una pompa con rendimento del 82% eroga 150 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 72 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero Pshaft necessaria, in kW.
Q = 150 L/sH = 72 mη = 82%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 17 m più in alto. Il tubo è lungo 150 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.
Q = 50 L/sΔz = 17 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 6
H = m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media
Un collettore per acque meteoriche in calcestruzzo con diametro interno di 1200 mm scorre appena pieno (come canale a pelo libero, non in pressione). n di Manning = 0,013 e la pendenza è S = 0,0008. Trova la portata Q in m³/s.
D = 1200 mmn = 0,013S = 0,0008
Q = m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile
Un canale trapezoidale in terra rivestita d’erba con larghezza di fondo di 4,5 m e scarpa delle sponde di 3:1 (orizzontale:verticale) deve convogliare 24 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,5 m. n di Manning = 0,03. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).
Q = 24 m³/sb = 4,5 my = 1,5 mz = 3n = 0,03
S = m/m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 88,29 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,5·6 = 88,29 kN
Risposta
F = 88,29 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: F = 29,43 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2·1,5 = 29,43 kN
Risposta
F = 29,43 kN
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 365,8 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,75·(100/50)² = 3 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,75² − 3²)/1000 = −4,219 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 370 + (−4,219) = 365,8 kPa
Risposta
p2 = 365,8 kPa
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: Q = 3,075 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocità nel tubo
Pelo libero e uscita sono entrambi aperti all’aria, quindi i termini di pressione si elidono.
v = √(2g·2) = √(2·9,81·2) = 6,264 m/s
Portata
Q = A·v = 0,0004909·6,264 = 0,003075 m³/s = 3,075 L/s
Risposta
Q = 3,075 L/s
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Δp = 18,77 kPa
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Perdita di carico
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(200/0,3)·1,6²/(2·9,81) = 1,914 m
Caduta di pressione
Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·1,914 = 18773 Pa = 18,77 kPa
Risposta
Δp = 18,77 kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: H = 1,317 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità
V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s
V²/(2g) = 0,07615 m
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,022·150/0,25 = 13,2
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 = 3,1
Equazione dell’energia
Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.
H = (1 + 13,2 + 3,1)·0,07615 = 1,317 m
Risposta
H = 1,317 m
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pshaft = 129,2 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·72 = 105,9 kW
Potenza all’albero
Pshaft = Ph/η = 105,9/0,82 = 129,2 kW
Risposta
Pshaft = 129,2 kW
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: H = 29,65 m
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 6)·0,408 = 12,65 m
Prevalenza della pompa
Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.
H = Δz + hL = 17 + 12,65 = 29,65 m
Risposta
H = 29,65 m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: Q = 1,103 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = 1,131 m², R = D/4 = 0,3 m
Velocità
V = (1/0,013)·0,32/3·0,00081/2 = 0,975 m/s
Portata
Q = A·V = 1,131·0,975 = 1,103 m³/s
Risposta
Q = 1,103 m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: S = 0,002982 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (4,5 + 3·1,5)·1,5 = 13,5 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·1,5·√(1 + 3²) = 13,99 m
R = A/P = 0,9652 m
Risolvi Manning rispetto a S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,03·24/(13,5·0,9767) = 0,05461
S = 0,05461² = 0,002982
Risposta
S = 0,002982
Questo corrisponde a un dislivello di 2,982 m per chilometro.
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