Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 100 mm a 50 mm. Nel tratto largo la pressione è 350 kPa e la velocità è 2,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nel tratto stretto.

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 350 kPav₁ = 2,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 200 mm a 100 mm salendo di 4 m. Nella sezione 1 la pressione è 190 kPa e la velocità è 2,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nella sezione 2.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 190 kPav₁ = 2,5 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una velocità media di 2,9 m/s in un tubo lungo 800 m con diametro interno di 75 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

V = 2,9 m/sL = 800 mD = 75 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Un tubo lungo 100 m con diametro interno di 100 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,02) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 10). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 20 L/s?

Q = 20 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10

H = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa con rendimento del 78% eroga 15 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 30 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero P_shaft necessaria, in kW.

Q = 15 L/sH = 30 mη = 78%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 25 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 7 m più in alto. Il tubo è lungo 500 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 82%. Trova la potenza all’albero P_shaft in kW.

Q = 25 L/sΔz = 7 mL = 500 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 8η = 82%

P_shaft = kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un collettore per acque meteoriche in calcestruzzo con diametro interno di 450 mm scorre appena pieno (come canale a pelo libero, non in pressione). n di Manning = 0,013 e la pendenza è S = 0,003. Trova la portata Q in m³/s.

D = 450 mmn = 0,013S = 0,003

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale rettangolare in calcestruzzo grezzo largo 1 m deve convogliare 6,4 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 2,3 m. n di Manning = 0,014. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 6,4 m³/sb = 1 my = 2,3 mn = 0,014

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 39,24 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·2 = 39,24 kN

Risposta

F = 39,24 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 2,333 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·2,25 = 49,66 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,25 + 0,4219/(2,25·2,25) = 2,333 m

Risposta

y_cp = 2,333 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 303,1 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,5·(100/50)² = 10 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,5² − 10²)/1000 = −46,88 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 350 + (−46,88) = 303,1 kPa

Risposta

p₂ = 303,1 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 103,9 kPa

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,5·(200/100)² = 10 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,5² − 10²)/1000 = −46,88 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 190 + (−46,88) − 39,24 = 103,9 kPa

Risposta

p₂ = 103,9 kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 100,6 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 2,9²/(2·9,81) = 0,4286 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(800/0,075)·2,9²/(2·9,81) = 100,6 m

Risposta

h_f = 100,6 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: H = 10,81 m

Velocità

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,02·100/0,1 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7

Equazione dell’energia

Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.

H = (1 + 20 + 11,7)·0,3305 = 10,81 m

Risposta

H = 10,81 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 5,66 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·30 = 4,415 kW

Potenza all’albero

P_shaft = P_h/η = 4,415/0,78 = 5,66 kW

Risposta

P_shaft = 5,66 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 4,372 kW

Velocità

V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (66,67 + 8)·0,102 = 7,617 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + h_L = 7 + 7,617 = 14,62 m

Potenza all’albero

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,025·14,62/0,82 = 4,372 kW

Risposta

P_shaft = 4,372 kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 0,1562 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = 0,159 m², R = D/4 = 0,1125 m

Velocità

V = (1/0,013)·0,1125^2/3·0,003^1/2 = 0,9819 m/s

Portata

Q = A·V = 0,159·0,9819 = 0,1562 m³/s

Risposta

Q = 0,1562 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,004971 m/m

Geometria

A = b·y = 1·2,3 = 2,3 m²

P = b + 2y = 1 + 2·2,3 = 5,6 m

R = A/P = 0,4107 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·6,4/(2,3·0,5525) = 0,07051

S = 0,07051² = 0,004971

Risposta

S = 0,004971

Questo corrisponde a un dislivello di 4,971 m per chilometro.

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