Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di olio, con il bordo superiore 4 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 4 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 150 mm a 100 mm. Nel tratto largo la pressione è 120 kPa e la velocità è 2 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nel tratto stretto.

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 120 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un serbatoio d’acqua chiuso contiene aria compressa sopra l’acqua a una pressione relativa di 150 kPa. L’acqua esce all’aria aperta attraverso un’apertura con diametro di 20 mm, 1,5 m sotto il pelo libero. Trascurando le perdite, trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².

p_air = 150 kPa (relativa)h = 1,5 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una velocità media di 1,2 m/s in un tubo lungo 100 m con diametro interno di 200 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

V = 1,2 m/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 100 m con diametro interno di 300 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 5) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa con rendimento del 60% eroga 150 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 52 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero P_shaft necessaria, in kW.

Q = 150 L/sH = 52 mη = 60%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 7 m più in alto. Il tubo è lungo 300 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 70%. Trova la potenza all’albero P_shaft in kW.

Q = 50 L/sΔz = 7 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 6η = 70%

P_shaft = kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale trapezoidale in calcestruzzo lisciato ha una larghezza di fondo di 6 m e una scarpa delle sponde di 1:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 2,1 m. n di Manning = 0,012 e la pendenza del fondo è S = 0,003. Trova la portata Q in m³/s.

b = 6 my = 2,1 mz = 1n = 0,012S = 0,003

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale rettangolare in muratura in mattoni largo 2,5 m deve convogliare 14 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,9 m. n di Manning = 0,015. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 14 m³/sb = 2,5 my = 1,9 mn = 0,015

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 73,58 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·3 = 73,58 kN

Risposta

F = 73,58 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 5,349 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·5,25·5 = 226,6 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 2·2,5³/12 = 2,604 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,25 + 2,604/(5,25·5) = 5,349 m

Risposta

y_cp = 5,349 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 111,9 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(150/100)² = 4,5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 4,5²)/1000 = −8,125 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 120 + (−8,125) = 111,9 kPa

Risposta

p₂ = 111,9 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 5,702 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli dal pelo libero al getto

v = √(2·(150000/1000 + 9,81·1,5)) = 18,15 m/s

Portata

Q = A·v = 0,0003142·18,15 = 0,005702 m³/s = 5,702 L/s

Risposta

Q = 5,702 L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 1,028 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 1,2²/(2·9,81) = 0,07339 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(100/0,2)·1,2²/(2·9,81) = 1,028 m

Risposta

h_f = 1,028 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 1,047 m

Velocità

V = Q/A = 0,08/0,07069 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,025·100/0,3 = 8,333

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Perdita di carico totale

h_f = 8,333·0,06529 = 0,544 m

h_m = 7,7·0,06529 = 0,5027 m

Δz = h_f + h_m = 1,047 m

Risposta

Δz = 1,047 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 127,5 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·52 = 76,52 kW

Potenza all’albero

P_shaft = P_h/η = 76,52/0,6 = 127,5 kW

Risposta

P_shaft = 127,5 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 15,2 kW

Velocità

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 6)·0,408 = 14,69 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + h_L = 7 + 14,69 = 21,69 m

Potenza all’albero

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·21,69/0,7 = 15,2 kW

Risposta

P_shaft = 15,2 kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 98,3 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (6 + 1·2,1)·2,1 = 17,01 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2,1·√(1 + 1²) = 11,94 m

R = A/P = 1,425 m

Velocità

V = (1/0,012)·1,425^2/3·0,003^1/2 = 5,779 m/s

Portata

Q = A·V = 17,01·5,779 = 98,3 m³/s

Risposta

Q = 98,3 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,002848 m/m

Geometria

A = b·y = 2,5·1,9 = 4,75 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·1,9 = 6,3 m

R = A/P = 0,754 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·14/(4,75·0,8284) = 0,05337

S = 0,05337² = 0,002848

Risposta

S = 0,002848

Questo corrisponde a un dislivello di 2,848 m per chilometro.

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