Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 4 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 4 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre a 10 L/s in un tubo orizzontale che si restringe da 150 mm a 75 mm. La pressione nella sezione stretta è 110 kPa. Trascurando le perdite, trova la pressione p₁ nella sezione larga.

Q = 10 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₂ = 110 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un tubo flessibile con diametro interno di 40 mm aspira acqua a sifone da un serbatoio aperto. Il punto più alto C del tubo è 3 m sopra il pelo libero, e l’uscita (aperta all’aria) è 1,5 m sotto il pelo libero. Trascura le perdite e assumi g = 9,81 m/s². Trova la pressione assoluta p_C nel punto C. La pressione atmosferica è 101,3 kPa.

d = 40 mmz_C = +3 mz₂ = −1,5 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una velocità media di 0,8 m/s in un tubo lungo 50 m con diametro interno di 250 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

V = 0,8 m/sL = 50 mD = 250 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Un tubo lungo 300 m con diametro interno di 300 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,02) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 10). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10

H = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

In una prova, una pompa eroga 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 30 m mentre il suo albero assorbe 21 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.

Q = 50 L/sH = 30 mP_shaft = 21 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 100 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 10 m più in alto. Il tubo è lungo 600 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 5 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 75%. Trova la potenza all’albero P_shaft in kW.

Q = 100 L/sΔz = 10 mL = 600 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 5η = 75%

P_shaft = kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale trapezoidale in calcestruzzo grezzo ha una larghezza di fondo di 1 m e una scarpa delle sponde di 3:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1,8 m. n di Manning = 0,014 e la pendenza del fondo è S = 0,0005. Trova la portata Q in m³/s.

b = 1 my = 1,8 mz = 3n = 0,014S = 0,0005

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un collettore in calcestruzzo con diametro interno di 200 mm (n di Manning = 0,013) deve raggiungere, quando scorre appena pieno, una velocità di autopulizia di 0,6 m/s. Trova la pendenza minima S (in m/m).

D = 200 mmn = 0,013V = 0,6 m/s

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 128,8 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,25·2,5 = 128,8 kN

Risposta

F = 128,8 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 69,53 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,25·2,5 = 69,53 kN

Risposta

F = 69,53 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₁ = 112,4 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità

v₁ = Q/A₁ = 0,01/0,01767 = 0,5659 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,01/0,004418 = 2,264 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 110 + ½·1000·(2,264² − 0,5659²)/1000 = 110 + 2,402 = 112,4 kPa

Risposta

p₁ = 112,4 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p_C = 57,15 kPa

Velocità nel tubo

Pelo libero e uscita sono entrambi aperti all’aria, quindi i termini di pressione si elidono.

v = √(2g·1,5) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s

Bernoulli dal pelo libero a C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(5,425²/2 + 9,81·3)/1000 = 101,3 − 44,15 = 57,15 kPa

Risposta

p_C = 57,15 kPa

Se questa pressione scende alla tensione di vapore dell’acqua, il sifone smette di funzionare.

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 0,1435 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 0,8²/(2·9,81) = 0,03262 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(50/0,25)·0,8²/(2·9,81) = 0,1435 m

Risposta

h_f = 0,1435 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: H = 2,135 m

Velocità

V = Q/A = 0,08/0,07069 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,02·300/0,3 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7

Equazione dell’energia

Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.

H = (1 + 20 + 11,7)·0,06529 = 2,135 m

Risposta

H = 2,135 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: η = 70,07 %

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·30 = 14,71 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 14,71/21 = 70,07%

Risposta

η = 70,07%

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 26,42 kW

Velocità

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (43,2 + 5)·0,2115 = 10,2 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + h_L = 10 + 10,2 = 20,2 m

Potenza all’albero

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,1·20,2/0,75 = 26,42 kW

Risposta

P_shaft = 26,42 kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 17,53 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1 + 3·1,8)·1,8 = 11,52 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1,8·√(1 + 3²) = 12,38 m

R = A/P = 0,9302 m

Velocità

V = (1/0,014)·0,9302^2/3·0,0005^1/2 = 1,522 m/s

Portata

Q = A·V = 11,52·1,522 = 17,53 m³/s

Risposta

Q = 17,53 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,003303 m/m

Raggio idraulico

R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m

Risolvi Manning rispetto a S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,6/0,1357)² = 0,003303

Risposta

S = 0,003303

Questo corrisponde a un dislivello di 3,303 m per chilometro.

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