Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Idraulica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Moto nei canali a pelo libero (Manning)
- Equazione di Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Portata
- Q = A·V
- Raggio idraulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rettangolo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezio (scarpa z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circolare, pieno o mezzo pieno
- R = D/4
- Pendenza richiesta
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 4 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 4 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua di mare, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 3 mH = 1 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuità e BernoulliMedia
Acqua scorre in un venturimetro orizzontale con diametro d’ingresso di 300 mm e diametro della gola di 150 mm. La pressione all’ingresso è 19 kPa più alta che nella gola. Trascurando le perdite, trova la portata Q.
d1 = 300 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 19 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuità e BernoulliDifficile
L’acqua sale in un tubo che si restringe da 200 mm a 50 mm salendo di 3 m. Nella sezione 1 la pressione è 370 kPa e la velocità è 0,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nella sezione 2.
d1 = 200 mmd2 = 50 mmp1 = 370 kPav1 = 0,5 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 2,8 m/s in un tubo orizzontale lungo 50 m con diametro interno di 50 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.
V = 2,8 m/sL = 50 mD = 50 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 300 m con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 120 L/s?
Q = 120 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
In una prova, una pompa eroga 100 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 60 m mentre il suo albero assorbe 73,6 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.
Q = 100 L/sH = 60 mPshaft = 73,6 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 30 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 8 m più in alto. Il tubo è lungo 150 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 5 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.
Q = 30 L/sΔz = 8 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 5
H = m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media
Un canale trapezoidale in calcestruzzo grezzo ha una larghezza di fondo di 2,5 m e una scarpa delle sponde di 3:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1,6 m. n di Manning = 0,014 e la pendenza del fondo è S = 0,0005. Trova la portata Q in m³/s.
b = 2,5 my = 1,6 mz = 3n = 0,014S = 0,0005
Q = m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile
Un canale trapezoidale in terra rivestita d’erba con larghezza di fondo di 4,5 m e scarpa delle sponde di 2:1 (orizzontale:verticale) deve convogliare 11 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,5 m. n di Manning = 0,03. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).
Q = 11 m³/sb = 4,5 my = 1,5 mz = 2n = 0,03
S = m/m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 242,8 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5,5·4,5 = 242,8 kN
Risposta
F = 242,8 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: F = 35,19 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·3,5·1 = 35,19 kN
Risposta
F = 35,19 kN
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: Q = 112,5 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuità
v1 = v2·(150/300)² = 0,25·v2
Bernoulli tra ingresso e gola
Il tubo è orizzontale, quindi cambiano solo pressione e velocità.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·19000/(1000·(1 − 0,0625))) = 6,367 m/s
v1 = 1,592 m/s
Portata
Q = A2·v2 = 0,01767·6,367 = 0,1125 m³/s = 112,5 L/s
Risposta
Q = 112,5 L/s
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 308,7 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(200/50)² = 8 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 8²)/1000 = −31,88 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 370 + (−31,88) − 29,43 = 308,7 kPa
Risposta
p2 = 308,7 kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Δp = 98 kPa
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Perdita di carico
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(50/0,05)·2,8²/(2·9,81) = 9,99 m
Caduta di pressione
Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·9,99 = 98000 Pa = 98 kPa
Risposta
Δp = 98 kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Δz = 6,823 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità
V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s
V²/(2g) = 0,3046 m
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,015·300/0,25 = 18
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4
Perdita di carico totale
hf = 18·0,3046 = 5,483 m
hm = 4,4·0,3046 = 1,34 m
Δz = hf + hm = 6,823 m
Risposta
Δz = 6,823 m
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: η = 79,97 %
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·60 = 58,86 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 58,86/73,6 = 79,97%
Risposta
η = 79,97%
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: H = 11,67 m
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s
V²/(2g) = 0,1469 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 5)·0,1469 = 3,672 m
Prevalenza della pompa
Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.
H = Δz + hL = 8 + 3,672 = 11,67 m
Risposta
H = 11,67 m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: Q = 17,72 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (2,5 + 3·1,6)·1,6 = 11,68 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,6·√(1 + 3²) = 12,62 m
R = A/P = 0,9256 m
Velocità
V = (1/0,014)·0,92562/3·0,00051/2 = 1,517 m/s
Portata
Q = A·V = 11,68·1,517 = 17,72 m³/s
Risposta
Q = 17,72 m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: S = 0,0008562 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (4,5 + 2·1,5)·1,5 = 11,25 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·1,5·√(1 + 2²) = 11,21 m
R = A/P = 1,004 m
Risolvi Manning rispetto a S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,03·11/(11,25·1,002) = 0,02926
S = 0,02926² = 0,0008562
Risposta
S = 0,0008562
Questo corrisponde a un dislivello di 0,8562 m per chilometro.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering