Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Idraulica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Moto nei canali a pelo libero (Manning)
- Equazione di Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Portata
- Q = A·V
- Raggio idraulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rettangolo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezio (scarpa z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circolare, pieno o mezzo pieno
- R = D/4
- Pendenza richiesta
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 2 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
d = 3 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuità e BernoulliMedia
L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 150 mm a 75 mm. Nel tratto largo la pressione è 170 kPa e la velocità è 0,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nel tratto stretto.
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 170 kPav1 = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuità e BernoulliDifficile
L’acqua sale in un tubo che si restringe da 75 mm a 40 mm salendo di 1 m. Nella sezione 1 la pressione è 280 kPa e la velocità è 1,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nella sezione 2.
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 280 kPav1 = 1,5 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 2,6 m/s in un tubo orizzontale lungo 100 m con diametro interno di 300 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.
V = 2,6 m/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 150 m con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 27 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 5) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.
Δz = 27 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
In una prova, una pompa eroga 150 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 56 m mentre il suo albero assorbe 114,5 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.
Q = 150 L/sH = 56 mPshaft = 114,5 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 100 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 13 m più in alto. Il tubo è lungo 300 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 75%. Trova la potenza all’albero Pshaft in kW.
Q = 100 L/sΔz = 13 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 8η = 75%
Pshaft = kW
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media
Un canale trapezoidale in calcestruzzo lisciato ha una larghezza di fondo di 3 m e una scarpa delle sponde di 2:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 2,4 m. n di Manning = 0,012 e la pendenza del fondo è S = 0,0008. Trova la portata Q in m³/s.
b = 3 my = 2,4 mz = 2n = 0,012S = 0,0008
Q = m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile
Un canale trapezoidale in ghiaia con larghezza di fondo di 3 m e scarpa delle sponde di 1:1 (orizzontale:verticale) deve convogliare 11 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 2,1 m. n di Manning = 0,025. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).
Q = 11 m³/sb = 3 my = 2,1 mz = 1n = 0,025
S = m/m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 119,6 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,25·3,75 = 119,6 kN
Risposta
F = 119,6 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: ycp = 3,8 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·3,75·2,25 = 104,3 kN
Centro di spinta
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Ic = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,75 + 0,4219/(3,75·2,25) = 3,8 m
Risposta
ycp = 3,8 m
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 168,1 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,5·(150/75)² = 2 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,5² − 2²)/1000 = −1,875 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 170 + (−1,875) = 168,1 kPa
Risposta
p2 = 168,1 kPa
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 257,4 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,5·(75/40)² = 5,273 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,5² − 5,273²)/1000 = −12,78 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·1/1000 = 9,81 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 280 + (−12,78) − 9,81 = 257,4 kPa
Risposta
p2 = 257,4 kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Δp = 22,53 kPa
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Perdita di carico
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(100/0,3)·2,6²/(2·9,81) = 2,297 m
Caduta di pressione
Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·2,297 = 22533 Pa = 22,53 kPa
Risposta
Δp = 22,53 kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Q = 140,6 L/s
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,025·150/0,2 = 18,75
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7
Equazione dell’energia
Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.
27 = (18,75 + 7,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·27/26,45) = 4,475 m/s
Portata
Q = V·π·D²/4 = 4,475·0,03142 = 0,1406 m³/s = 140,6 L/s
Risposta
Q = 140,6 L/s
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: η = 71,97 %
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·56 = 82,4 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 82,4/114,5 = 71,97%
Risposta
η = 71,97%
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pshaft = 25,86 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 8)·0,2115 = 6,769 m
Prevalenza della pompa
H = Δz + hL = 13 + 6,769 = 19,77 m
Potenza all’albero
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,1·19,77/0,75 = 25,86 kW
Risposta
Pshaft = 25,86 kW
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: Q = 54,25 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (3 + 2·2,4)·2,4 = 18,72 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·2,4·√(1 + 2²) = 13,73 m
R = A/P = 1,363 m
Velocità
V = (1/0,012)·1,3632/3·0,00081/2 = 2,898 m/s
Portata
Q = A·V = 18,72·2,898 = 54,25 m³/s
Risposta
Q = 54,25 m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: S = 0,0005182 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (3 + 1·2,1)·2,1 = 10,71 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·2,1·√(1 + 1²) = 8,94 m
R = A/P = 1,198 m
Risolvi Manning rispetto a S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,025·11/(10,71·1,128) = 0,02276
S = 0,02276² = 0,0005182
Risposta
S = 0,0005182
Questo corrisponde a un dislivello di 0,5182 m per chilometro.
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