Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Idraulica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Moto nei canali a pelo libero (Manning)
- Equazione di Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Portata
- Q = A·V
- Raggio idraulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rettangolo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezio (scarpa z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circolare, pieno o mezzo pieno
- R = D/4
- Pendenza richiesta
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 0,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 1,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuità e BernoulliMedia
L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 150 mm a 100 mm. Nel tratto largo la pressione è 240 kPa e la velocità è 1,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nel tratto stretto.
d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 240 kPav1 = 1,5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuità e BernoulliDifficile
L’ugello di una fontana è rivolto verso l’alto. Appena sotto l’ugello il tubo di alimentazione ha un diametro di 75 mm e una pressione relativa di 50 kPa. Il diametro di uscita dell’ugello è 25 mm e il dislivello attraverso l’ugello è trascurabile. Trascurando le perdite e la resistenza dell’aria, trova l’altezza H a cui il getto sale sopra l’ugello. Usa g = 9,81 m/s².
d1 = 75 mmp1 = 50 kPa (relativa)d2 = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua scorre con una velocità media di 0,8 m/s in un tubo lungo 50 m con diametro interno di 250 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
V = 0,8 m/sL = 50 mD = 250 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Un tubo lungo 150 m con diametro interno di 250 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,022) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 10). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 60 L/s?
Q = 60 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10
H = m
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
In una prova, una pompa eroga 40 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 56 m mentre il suo albero assorbe 26,8 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.
Q = 40 L/sH = 56 mPshaft = 26,8 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 17 m più in alto. Il tubo è lungo 300 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 4 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 400 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.
Q = 50 L/sΔz = 17 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 4ptank = 400 kPa
H = m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media
Un canale trapezoidale in terra pulita ha una larghezza di fondo di 1 m e una scarpa delle sponde di 2:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1,9 m. n di Manning = 0,022 e la pendenza del fondo è S = 0,0005. Trova la portata Q in m³/s.
b = 1 my = 1,9 mz = 2n = 0,022S = 0,0005
Q = m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile
Un canale rettangolare in muratura in mattoni largo 2 m deve convogliare 6,7 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,1 m. n di Manning = 0,015. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).
Q = 6,7 m³/sb = 2 my = 1,1 mn = 0,015
S = m/m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 18,39 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,25·1,5 = 18,39 kN
Risposta
F = 18,39 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: F = 49,05 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·2 = 49,05 kN
Risposta
F = 49,05 kN
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 235,4 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,5·(150/100)² = 3,375 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,5² − 3,375²)/1000 = −4,57 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 240 + (−4,57) = 235,4 kPa
Risposta
p2 = 235,4 kPa
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: H = 5,161 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocità di uscita
β = 25/75 = 0,3333
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·50000/(1000·0,9877)) = 10,06 m/s
Altezza del getto
Bernoulli lungo il getto: in cima la velocità è nulla e la pressione è di nuovo atmosferica.
H = v2²/(2g) = 10,06²/(2·9,81) = 5,161 m
Risposta
H = 5,161 m
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: hf = 0,09786 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Altezza cinetica
V²/(2g) = 0,8²/(2·9,81) = 0,03262 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(50/0,25)·0,8²/(2·9,81) = 0,09786 m
Risposta
hf = 0,09786 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: H = 1,949 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità
V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s
V²/(2g) = 0,07615 m
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,022·150/0,25 = 13,2
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 = 11,4
Equazione dell’energia
Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.
H = (1 + 13,2 + 11,4)·0,07615 = 1,949 m
Risposta
H = 1,949 m
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: η = 81,99 %
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·56 = 21,97 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 21,97/26,8 = 81,99%
Risposta
η = 81,99%
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: H = 71,65 m
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 4)·0,408 = 13,87 m
Altezza piezometrica
p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m
Prevalenza della pompa
Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 17 + 40,77 + 13,87 = 71,65 m
Risposta
H = 71,65 m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: Q = 9,023 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (1 + 2·1,9)·1,9 = 9,12 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1,9·√(1 + 2²) = 9,497 m
R = A/P = 0,9603 m
Velocità
V = (1/0,022)·0,96032/3·0,00051/2 = 0,9893 m/s
Portata
Q = A·V = 9,12·0,9893 = 9,023 m³/s
Risposta
Q = 9,023 m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: S = 0,004942 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = b·y = 2·1,1 = 2,2 m²
P = b + 2y = 2 + 2·1,1 = 4,2 m
R = A/P = 0,5238 m
Risolvi Manning rispetto a S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,015·6,7/(2,2·0,6498) = 0,0703
S = 0,0703² = 0,004942
Risposta
S = 0,004942
Questo corrisponde a un dislivello di 4,942 m per chilometro.
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