Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 4 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 4 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua defluisce da un grande serbatoio aperto attraverso una luce a spigolo vivo con diametro di 20 mm. Il livello dell’acqua è mantenuto 2,5 m sopra la luce e il coefficiente di efflusso è 0,64. Trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².

d = 20 mmh = 2,5 mC_d = 0,64g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 150 mm a 75 mm salendo di 4 m. Nella sezione 1 la pressione è 370 kPa e la velocità è 2 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nella sezione 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 370 kPav₁ = 2 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una portata di 120 L/s in un tubo lungo 200 m con diametro interno di 300 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

Q = 120 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 300 m con diametro interno di 300 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 5) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 150 L/s?

Q = 150 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

In una prova, una pompa eroga 100 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 74 m mentre il suo albero assorbe 93,1 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.

Q = 100 L/sH = 74 mP_shaft = 93,1 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 100 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 12 m più in alto. Il tubo è lungo 300 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 100 L/sΔz = 12 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 8

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale trapezoidale in ghiaia ha una larghezza di fondo di 1 m e una scarpa delle sponde di 1,5:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1,2 m. n di Manning = 0,025 e la pendenza del fondo è S = 0,0015. Trova la portata Q in m³/s.

b = 1 my = 1,2 mz = 1,5n = 0,025S = 0,0015

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale rettangolare in calcestruzzo grezzo largo 5,5 m deve convogliare 12 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,1 m. n di Manning = 0,014. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 12 m³/sb = 5,5 my = 1,1 mn = 0,014

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 44,15 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·1 = 44,15 kN

Risposta

F = 44,15 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 173,8 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3,75·3,75 = 173,8 kN

Risposta

F = 173,8 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 1,408 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità ideale del getto

√(2gh) = √(2·9,81·2,5) = 7,004 m/s

Portata reale

Il coefficiente di efflusso tiene conto della contrazione del getto e dell’attrito sul bordo.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,64·0,0003142·7,004 = 0,001408 m³/s = 1,408 L/s

Risposta

Q = 1,408 L/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 300,8 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(150/75)² = 8 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 370 + (−30) − 39,24 = 300,8 kPa

Risposta

p₂ = 300,8 kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 1,469 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità media

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s

Altezza cinetica

V²/(2g) = 1,698²/(2·9,81) = 0,1469 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(200/0,3)·1,698²/(2·9,81) = 1,469 m

Risposta

h_f = 1,469 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 5,899 m

Velocità

V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s

V²/(2g) = 0,2295 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,018·300/0,3 = 18

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Perdita di carico totale

h_f = 18·0,2295 = 4,131 m

h_m = 7,7·0,2295 = 1,767 m

Δz = h_f + h_m = 5,899 m

Risposta

Δz = 5,899 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: η = 77,97 %

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·74 = 72,59 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 72,59/93,1 = 77,97%

Risposta

η = 77,97%

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 19,28 m

Velocità

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (26,4 + 8)·0,2115 = 7,276 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.

H = Δz + h_L = 12 + 7,276 = 19,28 m

Risposta

H = 19,28 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 3,829 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1 + 1,5·1,2)·1,2 = 3,36 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1,2·√(1 + 1,5²) = 5,327 m

R = A/P = 0,6308 m

Velocità

V = (1/0,025)·0,6308^2/3·0,0015^1/2 = 1,139 m/s

Portata

Q = A·V = 3,36·1,139 = 3,829 m³/s

Risposta

Q = 3,829 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,001064 m/m

Geometria

A = b·y = 5,5·1,1 = 6,05 m²

P = b + 2y = 5,5 + 2·1,1 = 7,7 m

R = A/P = 0,7857 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·12/(6,05·0,8515) = 0,03261

S = 0,03261² = 0,001064

Risposta

S = 0,001064

Questo corrisponde a un dislivello di 1,064 m per chilometro.

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