Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di olio, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre a 21 L/s in un tubo orizzontale che si restringe da 100 mm a 75 mm. La pressione nella sezione stretta è 250 kPa. Trascurando le perdite, trova la pressione p₁ nella sezione larga.

Q = 21 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₂ = 250 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 150 mm a 75 mm salendo di 5 m. Nella sezione 1 la pressione è 240 kPa e la velocità è 2,75 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nella sezione 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 240 kPav₁ = 2,75 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 2,2 m/s in un tubo orizzontale lungo 200 m con diametro interno di 200 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 2,2 m/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Un tubo lungo 100 m con diametro interno di 250 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,02) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 5). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5

H = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa con rendimento del 80% eroga 30 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 56 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero P_shaft necessaria, in kW.

Q = 30 L/sH = 56 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 20 m più in alto. Il tubo è lungo 150 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 5 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 50 L/sΔz = 20 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 5

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale trapezoidale in calcestruzzo lisciato ha una larghezza di fondo di 3 m e una scarpa delle sponde di 2:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1,5 m. n di Manning = 0,012 e la pendenza del fondo è S = 0,0008. Trova la portata Q in m³/s.

b = 3 my = 1,5 mz = 2n = 0,012S = 0,0008

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale rettangolare in calcestruzzo lisciato largo 3,5 m deve convogliare 12 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 2 m. n di Manning = 0,012. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 12 m³/sb = 3,5 my = 2 mn = 0,012

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 206 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·6 = 206 kN

Risposta

F = 206 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 2,939 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2,75·2,5 = 59,35 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,75 + 1,302/(2,75·2,5) = 2,939 m

Risposta

y_cp = 2,939 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₁ = 257,7 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità

v₁ = Q/A₁ = 0,021/0,007854 = 2,674 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,021/0,004418 = 4,753 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 250 + ½·1000·(4,753² − 2,674²)/1000 = 250 + 7,723 = 257,7 kPa

Risposta

p₁ = 257,7 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 134,2 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(150/75)² = 11 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 11²)/1000 = −56,72 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·5/1000 = 49,05 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 240 + (−56,72) − 49,05 = 134,2 kPa

Risposta

p₂ = 134,2 kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 72,6 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(200/0,2)·2,2²/(2·9,81) = 7,401 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·7,401 = 72600 Pa = 72,6 kPa

Risposta

Δp = 72,6 kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: H = 1,797 m

Velocità

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,02·100/0,25 = 8

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 = 6,1

Equazione dell’energia

Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.

H = (1 + 8 + 6,1)·0,119 = 1,797 m

Risposta

H = 1,797 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 20,6 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·56 = 16,48 kW

Potenza all’albero

P_shaft = P_h/η = 16,48/0,8 = 20,6 kW

Risposta

P_shaft = 20,6 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 28,16 m

Velocità

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 5)·0,408 = 8,161 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.

H = Δz + h_L = 20 + 8,161 = 28,16 m

Risposta

H = 28,16 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 20,17 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (3 + 2·1,5)·1,5 = 9 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1,5·√(1 + 2²) = 9,708 m

R = A/P = 0,9271 m

Velocità

V = (1/0,012)·0,9271^2/3·0,0008^1/2 = 2,241 m/s

Portata

Q = A·V = 9·2,241 = 20,17 m³/s

Risposta

Q = 20,17 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,000464 m/m

Geometria

A = b·y = 3,5·2 = 7 m²

P = b + 2y = 3,5 + 2·2 = 7,5 m

R = A/P = 0,9333 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·12/(7·0,955) = 0,02154

S = 0,02154² = 0,000464

Risposta

S = 0,000464

Questo corrisponde a un dislivello di 0,464 m per chilometro.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering