Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Idraulica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Moto nei canali a pelo libero (Manning)
- Equazione di Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Portata
- Q = A·V
- Raggio idraulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rettangolo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezio (scarpa z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circolare, pieno o mezzo pieno
- R = D/4
- Pendenza richiesta
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 2 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuità e BernoulliMedia
L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 75 mm a 40 mm. Nel tratto largo la pressione è 240 kPa e la velocità è 1 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nel tratto stretto.
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 240 kPav1 = 1 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuità e BernoulliDifficile
L’acqua sale in un tubo che si restringe da 150 mm a 50 mm salendo di 9 m. Nella sezione 1 la pressione è 280 kPa e la velocità è 1 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nella sezione 2.
d1 = 150 mmd2 = 50 mmp1 = 280 kPav1 = 1 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua scorre con una portata di 40 L/s in un tubo lungo 150 m con diametro interno di 150 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
Q = 40 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 150 m con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 28 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 5) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.
Δz = 28 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
Una pompa eroga 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 70 m. Il rendimento della pompa è del 82% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 94%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica Pel assorbita dal motore, in kW.
Q = 80 L/sH = 70 mηpump = 82%ηmotor = 94%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 25 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 10 m più in alto. Il tubo è lungo 150 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 75%. Trova la potenza all’albero Pshaft in kW.
Q = 25 L/sΔz = 10 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 8η = 75%
Pshaft = kW
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media
Un canale rettangolare in terra rivestita d’erba è largo 3 m. L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 0,8 m. n di Manning = 0,03 e la pendenza del fondo è S = 0,003. Trova la portata Q in m³/s.
b = 3 my = 0,8 mn = 0,03S = 0,003
Q = m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile
Un canale rettangolare in calcestruzzo grezzo largo 2,5 m deve convogliare 7,1 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,6 m. n di Manning = 0,014. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).
Q = 7,1 m³/sb = 2,5 my = 1,6 mn = 0,014
S = m/m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 159,4 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 2,5·2 = 5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,25·5 = 159,4 kN
Risposta
F = 159,4 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: ycp = 4,667 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·4,5·9 = 500,6 kN
Centro di spinta
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Ic = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4,5 + 6,75/(4,5·9) = 4,667 m
Risposta
ycp = 4,667 m
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 234,3 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(75/40)² = 3,516 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 3,516²)/1000 = −5,68 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 240 + (−5,68) = 234,3 kPa
Risposta
p2 = 234,3 kPa
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 151,7 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(150/50)² = 9 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 9²)/1000 = −40 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 280 + (−40) − 88,29 = 151,7 kPa
Risposta
p2 = 151,7 kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: hf = 4,701 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità media
A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²
V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s
Altezza cinetica
V²/(2g) = 2,264²/(2·9,81) = 0,2611 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(150/0,15)·2,264²/(2·9,81) = 4,701 m
Risposta
hf = 4,701 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Q = 286,7 L/s
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,015·150/0,25 = 9
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1
Equazione dell’energia
Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.
28 = (9 + 7,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·28/16,1) = 5,841 m/s
Portata
Q = V·π·D²/4 = 5,841·0,04909 = 0,2867 m³/s = 286,7 L/s
Risposta
Q = 286,7 L/s
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pel = 71,27 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·70 = 54,94 kW
Potenza all’albero
Pshaft = 54,94/0,82 = 67 kW
Potenza elettrica
Pel = 67/0,94 = 71,27 kW
Risposta
Pel = 71,27 kW
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pshaft = 4,371 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s
V²/(2g) = 0,102 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 8)·0,102 = 3,366 m
Prevalenza della pompa
H = Δz + hL = 10 + 3,366 = 13,37 m
Potenza all’albero
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,025·13,37/0,75 = 4,371 kW
Risposta
Pshaft = 4,371 kW
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: Q = 2,84 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = b·y = 3·0,8 = 2,4 m²
P = b + 2y = 3 + 2·0,8 = 4,6 m
R = A/P = 0,5217 m
Velocità
V = (1/0,03)·0,52172/3·0,0031/2 = 1,183 m/s
Portata
Q = A·V = 2,4·1,183 = 2,84 m³/s
Risposta
Q = 2,84 m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: S = 0,0009902 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = b·y = 2,5·1,6 = 4 m²
P = b + 2y = 2,5 + 2·1,6 = 5,7 m
R = A/P = 0,7018 m
Risolvi Manning rispetto a S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,014·7,1/(4·0,7897) = 0,03147
S = 0,03147² = 0,0009902
Risposta
S = 0,0009902
Questo corrisponde a un dislivello di 0,9902 m per chilometro.
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