Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 4 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

Un tubo di Pitot statico in una galleria del vento indica una differenza di 750 Pa tra la pressione di ristagno e la pressione statica. La densità dell’aria è 1,2 kg/m³. Trova la velocità dell’aria v.

p₀ − p = 750 Paρ = 1,2 kg/m³

v = m/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 200 mm a 75 mm salendo di 2 m. Nella sezione 1 la pressione è 220 kPa e la velocità è 1 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nella sezione 2.

d₁ = 200 mmd₂ = 75 mmp₁ = 220 kPav₁ = 1 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 2,4 m/s in un tubo orizzontale lungo 500 m con diametro interno di 150 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 2,4 m/sL = 500 mD = 150 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 150 m con diametro interno di 300 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa con rendimento del 70% eroga 40 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 22 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero P_shaft necessaria, in kW.

Q = 40 L/sH = 22 mη = 70%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 40 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 8 m più in alto. Il tubo è lungo 100 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 250 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 40 L/sΔz = 8 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 6p_tank = 250 kPa

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale trapezoidale in terra pulita ha una larghezza di fondo di 6 m e una scarpa delle sponde di 1:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 2,5 m. n di Manning = 0,022 e la pendenza del fondo è S = 0,004. Trova la portata Q in m³/s.

b = 6 my = 2,5 mz = 1n = 0,022S = 0,004

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale trapezoidale in terra rivestita d’erba con larghezza di fondo di 1,5 m e scarpa delle sponde di 1:1 (orizzontale:verticale) deve convogliare 14 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 2,3 m. n di Manning = 0,03. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 14 m³/sb = 1,5 my = 2,3 mz = 1n = 0,03

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 132,4 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·3 = 132,4 kN

Risposta

F = 132,4 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 309 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·9 = 309 kN

Risposta

F = 309 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: v = 35,36 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli fino al punto di ristagno

Il flusso si arresta alla punta, quindi la sua energia cinetica si manifesta come pressione aggiuntiva.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·750/1,2) = 35,36 m/s

Risposta

v = 35,36 m/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 175,6 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(200/75)² = 7,111 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 7,111²)/1000 = −24,78 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·2/1000 = 19,62 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 220 + (−24,78) − 19,62 = 175,6 kPa

Risposta

p₂ = 175,6 kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 211,2 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(500/0,15)·2,4²/(2·9,81) = 21,53 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·21,53 = 211200 Pa = 211,2 kPa

Risposta

Δp = 211,2 kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 1,025 m

Velocità

V = Q/A = 0,08/0,07069 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,022·150/0,3 = 11

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Perdita di carico totale

h_f = 11·0,06529 = 0,7181 m

h_m = 4,7·0,06529 = 0,3068 m

Δz = h_f + h_m = 1,025 m

Risposta

Δz = 1,025 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 12,33 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·22 = 8,633 kW

Potenza all’albero

P_shaft = P_h/η = 8,633/0,7 = 12,33 kW

Risposta

P_shaft = 12,33 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 39,4 m

Velocità

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16,67 + 6)·0,2611 = 5,919 m

Altezza piezometrica

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 8 + 25,48 + 5,919 = 39,4 m

Risposta

H = 39,4 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 84,46 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (6 + 1·2,5)·2,5 = 21,25 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2,5·√(1 + 1²) = 13,07 m

R = A/P = 1,626 m

Velocità

V = (1/0,022)·1,626^2/3·0,004^1/2 = 3,975 m/s

Portata

Q = A·V = 21,25·3,975 = 84,46 m³/s

Risposta

Q = 84,46 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,002054 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 1·2,3)·2,3 = 8,74 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·2,3·√(1 + 1²) = 8,005 m

R = A/P = 1,092 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·14/(8,74·1,06) = 0,04532

S = 0,04532² = 0,002054

Risposta

S = 0,002054

Questo corrisponde a un dislivello di 2,054 m per chilometro.

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