Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di olio, con il bordo superiore 4 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 4 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

Un tubo di Pitot statico in una galleria del vento indica una differenza di 1500 Pa tra la pressione di ristagno e la pressione statica. La densità dell’aria è 1,2 kg/m³. Trova la velocità dell’aria v.

p₀ − p = 1500 Paρ = 1,2 kg/m³

v = m/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’ugello di una fontana è rivolto verso l’alto. Appena sotto l’ugello il tubo di alimentazione ha un diametro di 75 mm e una pressione relativa di 120 kPa. Il diametro di uscita dell’ugello è 25 mm e il dislivello attraverso l’ugello è trascurabile. Trascurando le perdite e la resistenza dell’aria, trova l’altezza H a cui il getto sale sopra l’ugello. Usa g = 9,81 m/s².

d₁ = 75 mmp₁ = 120 kPa (relativa)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una portata di 10 L/s in un tubo lungo 300 m con diametro interno di 150 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

Q = 10 L/sL = 300 mD = 150 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Un tubo lungo 150 m con diametro interno di 200 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,025) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 5). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5

H = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

In una prova, una pompa eroga 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 34 m mentre il suo albero assorbe 23,2 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.

Q = 50 L/sH = 34 mP_shaft = 23,2 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 17 m più in alto. Il tubo è lungo 200 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 5 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 350 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 80 L/sΔz = 17 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 5p_tank = 350 kPa

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale trapezoidale in calcestruzzo lisciato ha una larghezza di fondo di 1 m e una scarpa delle sponde di 1,5:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 0,6 m. n di Manning = 0,012 e la pendenza del fondo è S = 0,004. Trova la portata Q in m³/s.

b = 1 my = 0,6 mz = 1,5n = 0,012S = 0,004

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale trapezoidale in muratura in mattoni con larghezza di fondo di 6 m e scarpa delle sponde di 1:1 (orizzontale:verticale) deve convogliare 54 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,9 m. n di Manning = 0,015. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 54 m³/sb = 6 my = 1,9 mz = 1n = 0,015

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 49,66 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·2,25 = 49,66 kN

Risposta

F = 49,66 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 5,349 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·5,25·2,5 = 113,3 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,25 + 1,302/(5,25·2,5) = 5,349 m

Risposta

y_cp = 5,349 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: v = 50 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli fino al punto di ristagno

Il flusso si arresta alla punta, quindi la sua energia cinetica si manifesta come pressione aggiuntiva.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·1500/1,2) = 50 m/s

Risposta

v = 50 m/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: H = 12,39 m

Velocità di uscita

β = 25/75 = 0,3333

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·120000/(1000·0,9877)) = 15,59 m/s

Altezza del getto

Bernoulli lungo il getto: in cima la velocità è nulla e la pressione è di nuovo atmosferica.

H = v₂²/(2g) = 15,59²/(2·9,81) = 12,39 m

Risposta

H = 12,39 m

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 0,914 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità media

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,01/0,01767 = 0,5659 m/s

Altezza cinetica

V²/(2g) = 0,5659²/(2·9,81) = 0,01632 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(300/0,15)·0,5659²/(2·9,81) = 0,914 m

Risposta

h_f = 0,914 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: H = 7,596 m

Velocità

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,025·150/0,2 = 18,75

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 = 6,4

Equazione dell’energia

Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.

H = (1 + 18,75 + 6,4)·0,2905 = 7,596 m

Risposta

H = 7,596 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: η = 71,88 %

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·34 = 16,68 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 16,68/23,2 = 71,88%

Risposta

η = 71,88%

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 60,94 m

Velocità

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 5)·0,3305 = 8,263 m

Altezza piezometrica

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 17 + 35,68 + 8,263 = 60,94 m

Risposta

H = 60,94 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 3,043 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1 + 1,5·0,6)·0,6 = 1,14 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·0,6·√(1 + 1,5²) = 3,163 m

R = A/P = 0,3604 m

Velocità

V = (1/0,012)·0,3604^2/3·0,004^1/2 = 2,669 m/s

Portata

Q = A·V = 1,14·2,669 = 3,043 m³/s

Risposta

Q = 3,043 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,002012 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (6 + 1·1,9)·1,9 = 15,01 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1,9·√(1 + 1²) = 11,37 m

R = A/P = 1,32 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·54/(15,01·1,203) = 0,04485

S = 0,04485² = 0,002012

Risposta

S = 0,002012

Questo corrisponde a un dislivello di 2,012 m per chilometro.

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