Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.
1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €2 000 a un tasso nominale del 5 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 4 anni.
PV = €2 0005% / 4n = 4
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €250 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 30 anni. Il tasso d'interesse è del 4,2 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €250 0004,2% / 12N = 360
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 6% e scade tra 7 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 2,5% al 3,5%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?
F = €1 000cedola = 6%n = 7y1 = 2,5%y2 = 3,5%
ΔP = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 12 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 9%) viene venduta a €1 075. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 3 anni a un prezzo di richiamo di €1 090. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 9%P = €1 075prezzo di richiamo = €1 090richiamo tra 3 anni
YTC = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €6 000 000 e debito per €4 000 000. Il suo WACC è del 7,15%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 28%. Trova il costo del capitale proprio re.
Un’azienda ha 1 000 000 azioni quotate €39,50; il valore contabile del suo capitale proprio è €15 800 000. Ha appena pagato un dividendo di €2,30 per azione, e i dividendi crescono del 2% all’anno. Il suo debito ha un valore di mercato di €23 700 000 e un costo al lordo delle imposte del 4,5%. L’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC, usando il modello di crescita dei dividendi per il costo del capitale proprio.
Un investimento di €60 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €29 000, €18 000, €17 000. Il costo del capitale è del 7,000000000000001 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €25 000 e restituisce €10 000, €9 000, €9 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −25 000CF1 = 10 000CF2 = 9 000CF3 = 9 500
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 2440 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·30 = 360
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,2843
A = 250 000·0,0035/(1 − 0,2843) = €1 222,54
Risposta
A = €1 222,54
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: ΔP = −69,37 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1075 = 90·(1 − (1 + y)−3)/y + 1090/(1 + y)3
Risolvi numericamente
y = 8%: €1 097,22
y = 9%: €1 069,50
YTC = 8,799%
Risposta
YTC = 8,799%
Il rendimento a scadenza è del 8,005%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
5.CAPM e WACC
Risposta: re = 9,997 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
Parte del debito nel WACC
0,4·4%·(1 − 0,28) = 1,152%
Costo del capitale proprio
re = (7,15% − 1,152%)/0,6 = 9,997%
Risposta
re = 9,997%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,143 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,07)1 = 29 000/1,07 = 27 102,80
CF2/(1 + 0,07)2 = 18 000/1,145 = 15 721,90
CF3/(1 + 0,07)3 = 17 000/1,225 = 13 877,06
Sommali
NPV = €−3 298,24
Risposta
NPV = €−3 298,24
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 6,915 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(5%) = 893,53
NPV(10%) = −1 333,58
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.