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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Una rendita paga €5 000 alla fine di ogni anno per 15 anni. Il tasso di interesse è il 8% annuo. Trova il valore attuale PV della rendita.
A = €5 000i = 8%n = 15
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €20 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 6 anni. Il tasso d'interesse è del 2,4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €20 0002,4% / 12N = 72
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 5% in due rate semestrali e scade tra 4 anni. Il rendimento a scadenza è del 2,5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 5%YTM = 2,5%n = 4
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 8% scade tra 4 anni e quota €970. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 8%n = 4P = €970
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha capitale proprio per €8 000 000 e debito per €1 000 000. Il costo del capitale proprio è del 8%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 25%. Trova il WACC.
E = €8 000 000D = €1 000 000re = 8%rd = 3%T = 25%
WACC = %
6.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €22,00 ciascuna e 20 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 21%. Il beta dell’azione è 1,2, il tasso privo di rischio è del 1% e il rendimento di mercato è del 5%. Trova il WACC.
β = 1,2rf = 1%rm = 5%rd = 7%T = 21%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un progetto costa €200 000 oggi. Genera €13 000 alla fine del primo anno, e il flusso di cassa cresce poi del 2% annuo per sempre. Il costo del capitale è il 8%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €200 000CF1 = €13 000g = 2%r = 8%
NPV = €
8.VAN e TIRDifficile
Un progetto costa €10 000 e rende €5 500, €5 500, €4 000, €5 500 alla fine degli anni da 1 a 4. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 8%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore di rendita
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,3152)/0,08 = 8,559
Valore attuale
PV = 5 000·8,559 = €42 797,39
Risposta
PV = €42 797,39
2.Valore temporale del denaro
Risposta: A = 298,5 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·6 = 72
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,866
A = 20 000·0,002/(1 − 0,866) = €298,53
Risposta
A = €298,53
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1095 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €25,00, i = 0,0125, N = 8
Valore attuale delle cedole
€25,00·(1 − 0,9054)/0,0125 = €189,20
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,9054 = €905,40
Prezzo
P = €1 094,60
Risposta
P = €1 094,60
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 8,924 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€970 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Risolvi numericamente
P(8%) = €1 000,00, P(9%) = €967,60
YTM = 8,924%
Risposta
YTM = 8,924%
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,361 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Pesi
V = €9 000 000, E/V = 0,8889, D/V = 0,1111
WACC
WACC = 0,8889·8% + 0,1111·3%·(1 − 0,25) = 7,361%
Risposta
WACC = 7,361%
6.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 5,758 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore dei flussi di cassa
PV = 13 000/(0,08 − 0,02) = 216 666,67
NPV
NPV = 216 666,67 − 200 000 = €16 666,67
Risposta
NPV = €16 666,67
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: MIRR = 23,37 %
TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.