Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Ti servono €5 000 tra 2 anni. Un conto rende il 4 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Quanto devi versare oggi? Trova il valore attuale PV.

FV = €5 0004% / 4n = 2

PV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Versi €5 000 all’inizio di ogni anno per 27 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 8% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 27? Trova FV.

A = €5 000i = 8%n = 27

FV = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 7% in due rate semestrali e scade tra 9 anni. Il rendimento a scadenza è del 5% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 7%YTM = 5%n = 9

P = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con 20 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 8%) viene venduta a €1 229. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 3 anni a un prezzo di richiamo di €1 080. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.

F = €1 000cedola = 8%P = €1 229prezzo di richiamo = €1 080richiamo tra 3 anni

YTC = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €3 000 000. Il suo WACC è del 6,84%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il costo del capitale proprio r_e.

E = €10 000 000D = €3 000 000WACC = 6,84%r_d = 4%T = 25,8%

r_e = %

6.CAPM e WACCDifficile

Le azioni di un’azienda hanno un beta di 0,9 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,5. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 1,5. L’aliquota fiscale è del 28%, il tasso privo di rischio del 4% e il premio per il rischio di mercato del 6%. Trova il costo del capitale proprio r_e dopo la modifica.

β_L = 0,9D/E₁ = 0,5D/E₂ = 1,5T = 28%r_f = 4%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.VAN e TIRMedia

Un investimento di €20 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 3: €8 000, €5 000, €6 000. Il costo del capitale è del 8 %. Trova il valore attuale netto NPV.

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 5 000CF₃ = 6 000

NPV = €

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €10 000 e restituisce €6 500, €7 000 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 500CF₂ = 7 000

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: PV = 4617 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso e numero di periodi

i = 0,04/4 = 0,01

N = 4·2 = 8

Valore attuale

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,083 = €4 617,42

Risposta

PV = €4 617,42

2.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 471694 €

Fattore della rendita posticipata

((1 + 0,08)²⁷ − 1)/0,08 = 87,35

Rendita anticipata

Ogni versamento resta investito un anno in più.

FV = 5 000·87,35·1,08 = €471 694,15

Risposta

FV = €471 694,15

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 1144 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €35,00, i = 0,025, N = 18

Valore attuale delle cedole

€35,00·(1 − 0,6412)/0,025 = €502,37

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,6412 = €641,17

Prezzo

P = €1 143,53

Risposta

P = €1 143,53

Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTC = 2,57 %

Equazione del rendimento

1229 = 80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1080/(1 + y)³

Risolvi numericamente

y = 2%: €1 248,42

y = 3%: €1 214,64

YTC = 2,57%

Risposta

YTC = 2,57%

Il rendimento a scadenza è del 6,003%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.

5.CAPM e WACC

Risposta: r_e = 8,002 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €13 000 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308

Parte del debito nel WACC

0,2308·4%·(1 − 0,258) = 0,6849%

Costo del capitale proprio

r_e = (6,84% − 0,6849%)/0,7692 = 8,002%

Risposta

r_e = 8,002%

6.CAPM e WACC

Risposta: r_e = 12,26 %

Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), dove β_U è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.

Rendi il beta unlevered

β_U = 0,9/(1 + 0,72·0,5) = 0,6618

Ricalcola il beta levered al nuovo D/E

β_L = 0,6618·(1 + 0,72·1,5) = 1,376

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 4% + 1,376·6% = 12,26%

Risposta

r_e = 12,26%

7.VAN e TIR

Risposta: NPV = −3543 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale di ogni flusso

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 8 000/1,08 = 7 407,41

CF₂/(1 + 0,08)² = 5 000/1,166 = 4 286,69

CF₃/(1 + 0,08)³ = 6 000/1,26 = 4 762,99

Sommali

NPV = €−3 542,91

Risposta

NPV = €−3 542,91

Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 22,26 %

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(20%) = 277,78

NPV(25%) = −320,00

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 20 + 5·277,78/(277,78 − (−320,00)) = 22,32%

esatto: NPV(22,26%) = 0 → IRR = 22,26%

Risposta

IRR = 22,26%

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