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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €2 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 3% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 8% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €2 000g = 3%r = 8%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €12 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 4 anni. Il tasso d'interesse è del 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €12 0006% / 12N = 48
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4,5% in due rate semestrali e scade tra 8 anni. Il rendimento a scadenza è del 4% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 4,5%YTM = 4%n = 8
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 3% scade tra 3 anni e quota €945. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.
F = €1 000cedola = 3%n = 3P = €945
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €8 000 000, azioni privilegiate per €1 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 11%, il costo delle azioni privilegiate del 8% e il costo del debito al lordo delle imposte del 4%. L’aliquota fiscale è del 30%. Trova il WACC.
Un’azienda ha 4 000 000 azioni da €21,50 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €1 020 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 21%. Il beta dell’azione è 0,8, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 7%. Trova il WACC.
β = 0,8rf = 2%rm = 7%rd = 7%T = 21%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €9 000, €12 000, €9 000, €11 000. Il costo del capitale è del 9 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €40 000 e restituisce €22 500, €25 000 alla fine degli anni da 1 a 2. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
CF0 = −40 000CF1 = 22 500CF2 = 25 000
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: PV = 40000 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,06/12 = 0,005
N = 12·4 = 48
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,7871
A = 12 000·0,005/(1 − 0,7871) = €281,82
Risposta
A = €281,82
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 1034 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €22,50, i = 0,02, N = 16
Valore attuale delle cedole
€22,50·(1 − 0,7284)/0,02 = €305,50
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7284 = €728,45
Prezzo
P = €1 033,94
Risposta
P = €1 033,94
Il rendimento è inferiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sopra la pari (a premio).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 5,02 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
€945 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Risolvi numericamente
P(5%) = €945,54, P(6%) = €919,81
YTM = 5,02%
Risposta
YTM = 5,02%
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 8,7 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valori di mercato
E = 4 000 000·€21,50 = €86 000 000
D = 5 000·€1 020 = €5 100 000
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2% + 0,8·5% = 6%
Pesi
V = €91 100 000, E/V = 0,944, D/V = 0,05598
WACC
WACC = 0,944·6% + 0,05598·7%·(1 − 0,21) = 5,974%
Risposta
WACC = 5,974%
7.VAN e TIR
Risposta: NPV = 3099 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 9 000/1,09 = 8 256,88
CF2/(1 + 0,09)2 = 12 000/1,188 = 10 100,16
CF3/(1 + 0,09)3 = 9 000/1,295 = 6 949,65
CF4/(1 + 0,09)4 = 11 000/1,412 = 7 792,68
Sommali
NPV = €3 099,37
Risposta
NPV = €3 099,37
Il VAN è positivo, quindi il progetto rende più del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 12,04 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Delimitare il TIR
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
NPV(10%) = 1 115,70
NPV(15%) = −1 531,19
Restringere
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.