Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.
1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Investi €12 000 a un tasso nominale del 4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 8 anni.
PV = €12 0004% / 12n = 8
FV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Versi €2 500 all’inizio di ogni anno per 26 anni, con il primo versamento oggi. Il conto rende il 5% annuo. Quanto c’è sul conto alla fine dell’anno 26? Trova FV.
A = €2 500i = 5%n = 26
FV = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 12 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €916 quando il rendimento a scadenza è del 6%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.
F = €1 000n = 12P = €916YTM = 6%
c = %
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 5% in due rate semestrali e scade tra 8 anni. Viene venduta a €1 104. Trova il suo rendimento a scadenza YTM come tasso annuo (il doppio del rendimento semestrale), in percentuale.
F = €1 000cedola = 5% (2×)n = 8P = €1 104
YTM = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda ha un rapporto debito/capitale proprio (a valori di mercato) di 0,75. Il suo costo del capitale proprio è del 10%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.
D/E = 0,75re = 10%rd = 3,5%T = 25,8%
WACC = %
6.CAPM e WACCDifficile
Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €11,50 ciascuna e 5 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 7% e l’aliquota fiscale è del 21%. Il beta dell’azione è 1,3, il tasso privo di rischio è del 2% e il rendimento di mercato è del 9%. Trova il WACC.
β = 1,3rf = 2%rm = 9%rd = 7%T = 21%
WACC = %
7.VAN e TIRMedia
Una macchina costa €40 000 oggi. Genera €15 000 alla fine di ogni anno per 3 anni e poi può essere venduta a €10 000. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.
C0 = €40 000CF = €15 000S = €10 000n = 3r = 12%
NPV = €
8.VAN e TIRDifficile
Un investimento di €25 000 rende €7 000 alla fine di ogni anno per 5 anni. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
C0 = €25 000CF = €7 000n = 5
IRR = %
3Soluzioni
1.Valore temporale del denaro
Risposta: FV = 16517 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Fattore della rendita posticipata
((1 + 0,05)26 − 1)/0,05 = 51,11
Rendita anticipata
Ogni versamento resta investito un anno in più.
FV = 2 500·51,11·1,05 = €134 172,82
Risposta
FV = €134 172,82
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: c = 4,998 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Valore attuale del valore nominale
1000·(1 + 0,06)−12 = €496,97
Cedola
C = (916 − 496,97)/8,384 = €49,98
Tasso cedolare
c = 49,98/1000 = 4,998%
Risposta
c = 4,998%
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTM = 3,498 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €25,00, N = 16
Risolvi numericamente
i = 1,749% per semestre
YTM
YTM = 2·1,749% = 3,498%
Risposta
YTM = 3,498%
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 6,827 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale dei flussi di cassa annui
15 000·2,402 = 36 027,47
Valore attuale del valore residuo
10 000/1,405 = 7 117,80
NPV
NPV = −40 000 + 36 027,47 + 7 117,80 = €3 145,27
Risposta
NPV = €3 145,27
8.VAN e TIR
Risposta: IRR = 12,38 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Fattore di rendita richiesto
(1 − (1 + i)−5)/i = 25 000/7 000 = 3,571
Ricava il tasso
Il fattore di rendita diminuisce al crescere del tasso; individua un intervallo per il tasso e restringilo.