Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Investi €2 000 a un tasso nominale del 3 % annuo, capitalizzato trimestralmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 3 anni.

PV = €2 0003% / 4n = 3

FV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Risparmi €150 alla fine di ogni mese per 21 anni. Il conto rende il 4,8 % annuo, capitalizzato mensilmente. Quanto hai risparmiato alla fine? Trova FV.

A = €1504,8% / 12N = 252

FV = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 scade tra 13 anni e paga cedole annuali. Viene venduta a €1 188 quando il rendimento a scadenza è del 5%. Trova il tasso cedolare c in percentuale.

F = €1 000n = 13P = €1 188YTM = 5%

c = %

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 5% scade tra 5 anni e quota €1 090. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 5%n = 5P = €1 090

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €8 000 000 e debito per €2 000 000. Il suo WACC è del 7,76%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 4% e l’aliquota fiscale è del 30%. Trova il costo del capitale proprio r_e.

E = €8 000 000D = €2 000 000WACC = 7,76%r_d = 4%T = 30%

r_e = %

6.CAPM e WACCDifficile

Le azioni di un’azienda hanno un beta di 0,9 con l’attuale rapporto debito/capitale proprio di 0,2. L’azienda prevede di portare il rapporto debito/capitale proprio a 0,75. L’aliquota fiscale è del 20%, il tasso privo di rischio del 3,5% e il premio per il rischio di mercato del 4,5%. Trova il costo del capitale proprio r_e dopo la modifica.

β_L = 0,9D/E₁ = 0,2D/E₂ = 0,75T = 20%r_f = 3,5%r_m − r_f = 4,5%

r_e = %

7.VAN e TIRMedia

Una macchina costa €40 000 oggi. Genera €12 500 alla fine di ogni anno per 4 anni e poi può essere venduta a €4 000. Il costo del capitale è il 12%. Trova il valore attuale netto NPV.

C₀ = €40 000CF = €12 500S = €4 000n = 4r = 12%

NPV = €

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €10 000 e rende €3 000, €5 500, €3 500 alla fine degli anni da 1 a 3. I flussi di cassa possono essere reinvestiti al costo del capitale del 6%. Trova il tasso interno di rendimento modificato MIRR in percentuale.

r = 6%CF₀ = −10 000CF₁ = 3 000CF₂ = 5 500CF₃ = 3 500

MIRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 2188 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso e numero di periodi

i = r/m = 0,03/4 = 0,0075

N = m·n = 4·3 = 12

Valore futuro

FV = 2 000·(1 + 0,0075)¹² = 2 000·1,094 = €2 187,61

Risposta

FV = €2 187,61

2.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 65048 €

Tasso mensile e numero di versamenti

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·21 = 252

Valore futuro dei versamenti

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(2,735 − 1)/0,004 = €65 047,93

Risposta

FV = €65 047,93

Tu hai versato €37 800; il resto sono interessi.

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: c = 7,001 %

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Valore attuale del valore nominale

1000·(1 + 0,05)⁻¹³ = €530,32

Cedola

C = (1188 − 530,32)/9,394 = €70,01

Tasso cedolare

c = 70,01/1000 = 7,001%

Risposta

c = 7,001%

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 3,033 %

Equazione del rendimento

€1 090 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Risolvi numericamente

P(3%) = €1 091,59, P(4%) = €1 044,52

YTM = 3,033%

Risposta

YTM = 3,033%

5.CAPM e WACC

Risposta: r_e = 9 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €10 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2

Parte del debito nel WACC

0,2·4%·(1 − 0,3) = 0,56%

Costo del capitale proprio

r_e = (7,76% − 0,56%)/0,8 = 9%

Risposta

r_e = 9%

6.CAPM e WACC

Risposta: r_e = 9,086 %

Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), dove β_U è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.

Rendi il beta unlevered

β_U = 0,9/(1 + 0,8·0,2) = 0,7759

Ricalcola il beta levered al nuovo D/E

β_L = 0,7759·(1 + 0,8·0,75) = 1,241

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,241·4,5% = 9,086%

Risposta

r_e = 9,086%

7.VAN e TIR

Risposta: NPV = 508,9 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale dei flussi di cassa annui

12 500·3,037 = 37 966,87

Valore attuale del valore residuo

4 000/1,574 = 2 542,07

NPV

NPV = −40 000 + 37 966,87 + 2 542,07 = €508,94

Risposta

NPV = €508,94

8.VAN e TIR

Risposta: MIRR = 8,295 %

TIR modificato: capitalizza ogni entrata fino alla fine del progetto al tasso di reinvestimento (di solito il costo del capitale) per ottenere il valore finale TV. Il MIRR è il tasso che trasforma l’investimento iniziale in TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Valore finale delle entrate

3 000·1,06² = 3 370,80

5 500·1,06¹ = 5 830,00

3 500·1,06⁰ = 3 500,00

TV = 12 700,80

MIRR

MIRR = (12 700,80/10 000)^1/3 − 1 = 8,295%

Risposta

MIRR = 8,295%

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