Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Investi €5 000 a un tasso nominale del 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 10 anni.

PV = €5 0006% / 12n = 10

FV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Un prestito di €20 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 3 anni. Il tasso d'interesse è del 6 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.

P = €20 0006% / 12N = 36

A = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua di 5% e scade tra 10 anni. Il suo rendimento a scadenza passa dal 9% al 10%. Di quanto ΔP varia il prezzo dell’obbligazione?

F = €1 000cedola = 5%n = 10y₁ = 9%y₂ = 10%

ΔP = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 7% scade tra 6 anni e quota €890. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 7%n = 6P = €890

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €8 000 000 e debito per €6 000 000. Il costo del capitale proprio è del 12%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3% e l’aliquota fiscale è del 20%. Trova il WACC.

E = €8 000 000D = €6 000 000r_e = 12%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 5 000 000 azioni da €12,00 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €1 050 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Il beta dell’azione è 0,6, il tasso privo di rischio è del 1,5% e il rendimento di mercato è del 7%. Trova il WACC.

β = 0,6r_f = 1,5%r_m = 7%r_d = 3,5%T = 25,8%

WACC = %

7.VAN e TIRMedia

Una macchina costa €40 000 oggi, dura 10 anni e costa €1 000 all’anno di esercizio (pagati alla fine di ogni anno). Il costo del capitale è il 10%. Trova il suo costo annuo equivalente EAC.

C₀ = €40 000M = €1 000n = 10r = 10%

EAC = €

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €100 000 oggi. Il suo flusso di cassa è €15 000 alla fine dell’anno 1 e cresce del 3% annuo fino all’ultimo flusso alla fine dell’anno 6. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €15 000g = 3%n = 6r = 10%

NPV = €

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 9097 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso e numero di periodi

i = r/m = 0,06/12 = 0,005

N = m·n = 12·10 = 120

Valore futuro

FV = 5 000·(1 + 0,005)¹²⁰ = 5 000·1,819 = €9 096,98

Risposta

FV = €9 096,98

2.Valore temporale del denaro

Risposta: A = 608,4 €

Tasso mensile e numero di rate

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·3 = 36

Rata

Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.

(1 + i)^−N = 0,8356

A = 20 000·0,005/(1 − 0,8356) = €608,44

Risposta

A = €608,44

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: ΔP = −50,52 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Prezzo al vecchio rendimento

C = €50,00, i = 0,09, N = 10

€50,00·(1 − 0,4224)/0,09 + €1 000·0,4224 = €320,88 + €422,41 = €743,29

Prezzo al nuovo rendimento

C = €50,00, i = 0,1, N = 10

€50,00·(1 − 0,3855)/0,1 + €1 000·0,3855 = €307,23 + €385,54 = €692,77

Variazione

ΔP = 692,77 − 743,29 = −€50,52

Risposta

ΔP = −€50,52

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 9,488 %

Equazione del rendimento

€890 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

Risolvi numericamente

P(9%) = €910,28, P(10%) = €869,34

YTM = 9,488%

Risposta

YTM = 9,488%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 7,886 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €14 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·12% + 0,4286·3%·(1 − 0,2) = 7,886%

Risposta

WACC = 7,886%

6.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 3,893 %

Valori di mercato

E = 5 000 000·€12,00 = €60 000 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 1,5% + 0,6·5,5% = 4,8%

Pesi

V = €102 000 000, E/V = 0,5882, D/V = 0,4118

WACC

WACC = 0,5882·4,8% + 0,4118·3,5%·(1 − 0,258) = 3,893%

Risposta

WACC = 3,893%

7.VAN e TIR

Risposta: EAC = 7510 €

Costo annuo equivalente: distribuisci il valore attuale di tutti i costi sulla vita utile come un importo annuo costante (una rendita): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permette di confrontare macchine con vite diverse.

Fattore di rendita

(1 − 1,1⁻¹⁰)/0,1 = 6,145

Prezzo d’acquisto annualizzato

40 000/6,145 = 6 509,82

EAC

EAC = 6 509,82 + 1 000 = €7 509,82

Risposta

EAC = €7 509,82

8.VAN e TIR

Risposta: NPV = −30145 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale della rendita crescente

((1,03)/(1,1))⁶ = 0,674

PV = 15 000/(0,1 − 0,03)·(1 − 0,674) = 69 854,70

NPV

NPV = 69 854,70 − 100 000 = −€30 145,30

Risposta

NPV = −€30 145,30

Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.

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