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1Formule e metodi
Valore temporale del denaro
Valore futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valore attuale
PV = FV/(1 + i)n
Più periodi all’anno
i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Rendita, valore futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Metodo
Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.
Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Prezzo dell’obbligazione
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Cedole semestrali
C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente
C/P
Prezzo e rendimento
rendimento su → prezzo giù
Metodo
Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valore dell’impresa
V = E + D
VAN e TIR
Valore attuale netto
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Flussi uguali
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Tasso interno di rendimento
il r per cui NPV = 0
Decisione
accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)
Metodo
Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CFt/(1 + r)t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.
2Esercizi
1.Valore temporale del denaroMedia
Si prevede che un immobile renda un affitto netto di €12 000 il prossimo anno. Si prevede che l’affitto cresca del 4% annuo per sempre. Il rendimento richiesto è il 9% annuo. Trova il valore PV dell’immobile oggi.
C1 = €12 000g = 4%r = 9%
PV = €
2.Valore temporale del denaroDifficile
Un prestito di €15 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 5 anni. Il tasso d'interesse è del 3 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova la rata mensile A.
P = €15 0003% / 12N = 60
A = €
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia
Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 5% in due rate semestrali e scade tra 3 anni. Il rendimento a scadenza è del 9% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.
F = €1 000cedola = 5%YTM = 9%n = 3
P = €
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile
Un’obbligazione con 11 anni alla scadenza (valore nominale €1 000, cedola annua 9%) viene venduta a €1 071. L’emittente può rimborsarla anticipatamente tra 6 anni a un prezzo di richiamo di €1 090. Trova il rendimento al richiamo YTC in percentuale.
F = €1 000cedola = 9%P = €1 071prezzo di richiamo = €1 090richiamo tra 6 anni
YTC = %
5.CAPM e WACCMedia
Un’azienda è finanziata con azioni ordinarie per €10 000 000, azioni privilegiate per €1 000 000 e debito per €3 000 000. Il costo del capitale proprio è del 9%, il costo delle azioni privilegiate del 6,5% e il costo del debito al lordo delle imposte del 5%. L’aliquota fiscale è del 28%. Trova il WACC.
L’attività di un’azienda ha un beta unlevered (delle attività) di 1,1. Prevede un rapporto debito/capitale proprio di 0,25. L’aliquota fiscale è del 25%, il tasso privo di rischio è del 2% e il premio per il rischio di mercato è del 6,5%. Trova il costo del capitale proprio re con la nuova struttura del capitale.
βU = 1,1D/E = 0,25T = 25%rf = 2%rm − rf = 6,5%
re = %
7.VAN e TIRMedia
Un investimento di €30 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €8 000, €6 000, €6 000, €12 000. Il costo del capitale è del 8 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Il progetto A costa €20 000 e rende €11 500, €8 000, €4 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Il progetto B costa €25 000 e rende €7 500, €9 500, €13 000. Trova il tasso di indifferenza (crossover) r* al quale entrambi i progetti hanno lo stesso VAN, in percentuale.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Tasso mensile e numero di rate
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·5 = 60
Rata
Il valore attuale di N pagamenti uguali A è A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Ponilo uguale al prestito e ricava A.
(1 + i)−N = 0,8609
A = 15 000·0,0025/(1 − 0,8609) = €269,53
Risposta
A = €269,53
3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: P = 896,8 €
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Per periodo
C = €25,00, i = 0,045, N = 6
Valore attuale delle cedole
€25,00·(1 − 0,7679)/0,045 = €128,95
Valore attuale del valore nominale
€1 000·0,7679 = €767,90
Prezzo
P = €896,84
Risposta
P = €896,84
Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).
4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni
Risposta: YTC = 8,641 %
Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.
Equazione del rendimento
1071 = 90·(1 − (1 + y)−6)/y + 1090/(1 + y)6
Risolvi numericamente
y = 8%: €1 102,94
y = 9%: €1 053,66
YTC = 8,641%
Risposta
YTC = 8,641%
Il rendimento a scadenza è del 8,005%. Chi investe in un’obbligazione sopra la pari si aspetta che venga richiamata, quindi il rendimento al richiamo, più basso, è quello più realistico.
5.CAPM e WACC
Risposta: WACC = 7,664 %
Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: re = rf + β·(rm − rf). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).
Beta levered (Hamada): il debito rende il capitale proprio più rischioso. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), dove βU è il beta dell’attività senza debito. Per trasferire un beta a un’altra struttura del capitale, prima rendilo unlevered e poi ricalcolalo levered al nuovo D/E.
Beta levered
βL = 1,1·(1 + 0,75·0,25) = 1,306
Costo del capitale proprio (CAPM)
re = 2% + 1,306·6,5% = 10,49%
Risposta
re = 10,49%
7.VAN e TIR
Risposta: NPV = −3865 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Valore attuale di ogni flusso
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 8 000/1,08 = 7 407,41
CF2/(1 + 0,08)2 = 6 000/1,166 = 5 144,03
CF3/(1 + 0,08)3 = 6 000/1,26 = 4 762,99
CF4/(1 + 0,08)4 = 12 000/1,36 = 8 820,36
Sommali
NPV = €−3 865,21
Risposta
NPV = €−3 865,21
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
8.VAN e TIR
Risposta: r* = 4,472 %
Tasso di indifferenza (crossover): il tasso di sconto al quale due progetti hanno lo stesso VAN. È il TIR della differenza dei loro flussi di cassa (B − A). Al di sotto, il progetto con flussi più tardivi e più grandi ha il VAN maggiore; al di sopra prevale l’altro.
Differenza dei flussi di cassa
ΔCF0 = −25 000 − (−20 000) = −5 000
ΔCF1 = 7 500 − 11 500 = −4 000
ΔCF2 = 9 500 − 8 000 = 1 500
ΔCF3 = 13 000 − 4 500 = 8 500
TIR della differenza
NPVΔ(4%) = 97,15
NPVΔ(5%) = −106,36
r* = 4,472%
Risposta
r* = 4,472%
Verifica: al 4,472% entrambi i VAN valgono €2 283,89.