Investimenti e valutazione: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Valore temporale del denaro

Valore futuro: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Valore attuale: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Più periodi all’anno: i = r/m, N = m·n
Rendita, valore attuale: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rendita, valore futuro: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodo

Disegna una linea temporale con ogni flusso di cassa e la sua scadenza.
Abbina il tasso al periodo: un tasso mensile per pagamenti mensili.
Usa FV = PV·(1 + i)ⁿ per importi singoli e le formule delle rendite per pagamenti costanti.
Controlla il segno e l’ordine di grandezza della risposta.

Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Prezzo dell’obbligazione: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Cedole semestrali: C/2, y/2 e 2n periodi
Rendimento corrente: C/P
Prezzo e rendimento: rendimento su → prezzo giù

Metodo

Trova la cedola per periodo e il rendimento per periodo.
Prezzo = valore attuale delle cedole (una rendita) + valore attuale del valore nominale.
Per cedole semestrali usa metà cedola, metà rendimento e il doppio dei periodi.
Verifica: se il rendimento è superiore al tasso cedolare, il prezzo è inferiore al valore nominale.

CAPM e WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Valore dell’impresa: V = E + D

VAN e TIR

Valore attuale netto: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Flussi uguali: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Tasso interno di rendimento: il r per cui NPV = 0
Decisione: accetta se NPV > 0 (o IRR > rendimento richiesto)

Metodo

Elenca tutti i flussi di cassa con il loro anno; l’investimento all’anno 0 è negativo.
Sconta ogni flusso di cassa: CF_t/(1 + r)^t.
Sommali per ottenere il VAN. Positivo significa che il progetto rende più di r.
Per il TIR, trova per tentativi o per interpolazione il tasso che annulla il VAN.

2Esercizi

1.Valore temporale del denaroMedia

Investi €2 000 a un tasso nominale del 4 % annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il valore FV dell'investimento dopo 10 anni.

PV = €2 0004% / 12n = 10

FV = €

2.Valore temporale del denaroDifficile

Vuoi avere €10 000 tra 11 anni. Risparmi la stessa somma alla fine di ogni mese su un conto che rende il 5,4% annuo, capitalizzato mensilmente. Trova il versamento mensile A.

FV = €10 0005,4% / 12N = 132

A = €

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioniMedia

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 paga una cedola annua del 4% in due rate semestrali e scade tra 6 anni. Il rendimento a scadenza è del 7% annuo. Trova il prezzo P dell’obbligazione.

F = €1 000cedola = 4%YTM = 7%n = 6

P = €

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioniDifficile

Un’obbligazione con valore nominale €1 000 e cedola annua del 5% scade tra 10 anni e quota €1 080. Trova il suo rendimento a scadenza YTM in percentuale.

F = €1 000cedola = 5%n = 10P = €1 080

YTM = %

5.CAPM e WACCMedia

Un’azienda ha capitale proprio per €10 000 000 e debito per €4 000 000. Il costo del capitale proprio è del 8%, il costo del debito al lordo delle imposte è del 3,5% e l’aliquota fiscale è del 25,8%. Trova il WACC.

E = €10 000 000D = €4 000 000r_e = 8%r_d = 3,5%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM e WACCDifficile

Un’azienda ha 2 500 000 azioni da €55,50 ciascuna e 40 000 obbligazioni quotate €980 ciascuna. Il costo del debito al lordo delle imposte è del 6% e l’aliquota fiscale è del 21%. Il beta dell’azione è 0,8, il tasso privo di rischio è del 3% e il rendimento di mercato è del 8%. Trova il WACC.

β = 0,8r_f = 3%r_m = 8%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

7.VAN e TIRMedia

Una macchina costa €40 000 oggi. Genera €5 500 alla fine di ogni anno per 7 anni e poi può essere venduta a €6 000. Il costo del capitale è il 10%. Trova il valore attuale netto NPV.

C₀ = €40 000CF = €5 500S = €6 000n = 7r = 10%

NPV = €

8.VAN e TIRDifficile

Un progetto costa €20 000 e restituisce €13 000, €10 500, €10 000 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 000CF₂ = 10 500CF₃ = 10 000

IRR = %

3Soluzioni

1.Valore temporale del denaro

Risposta: FV = 2982 €

Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)ⁿ. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.

Tasso e numero di periodi

i = r/m = 0,04/12 = 0,003333

N = m·n = 12·10 = 120

Valore futuro

FV = 2 000·(1 + 0,003333)¹²⁰ = 2 000·1,491 = €2 981,67

Risposta

FV = €2 981,67

2.Valore temporale del denaro

Risposta: A = 55,64 €

Tasso mensile e numero di versamenti

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·11 = 132

Versamento

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 10 000·0,0045/(1,809 − 1) = €55,64

Risposta

A = €55,64

3.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: P = 855 €

Prezzo di un’obbligazione: il prezzo di un’obbligazione è il valore attuale dei suoi flussi di cassa, scontati al rendimento a scadenza (YTM): le cedole formano una rendita e il valore nominale viene rimborsato alla scadenza. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando il rendimento è superiore al tasso cedolare l’obbligazione quota sotto la pari, e viceversa.

Per periodo

C = €20,00, i = 0,035, N = 12

Valore attuale delle cedole

€20,00·(1 − 0,6618)/0,035 = €193,27

Valore attuale del valore nominale

€1 000·0,6618 = €661,78

Prezzo

P = €855,05

Risposta

P = €855,05

Il rendimento è superiore al tasso cedolare, quindi l’obbligazione quota sotto la pari (a sconto).

4.Prezzo e rendimento delle obbligazioni

Risposta: YTM = 4,013 %

Equazione del rendimento

€1 080 = €50·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Risolvi numericamente

P(4%) = €1 081,11, P(5%) = €1 000,00

YTM = 4,013%

Risposta

YTM = 4,013%

5.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 6,456 %

Costo del capitale: il CAPM dà il rendimento richiesto dagli azionisti: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Il costo medio ponderato del capitale combina capitale proprio e debito in base ai loro valori di mercato: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), con V = E + D. Gli interessi sono fiscalmente deducibili, da qui il fattore (1 − T).

Pesi

V = €14 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

WACC

WACC = 0,7143·8% + 0,2857·3,5%·(1 − 0,258) = 6,456%

Risposta

WACC = 6,456%

6.CAPM e WACC

Risposta: WACC = 6,502 %

Valori di mercato

E = 2 500 000·€55,50 = €138 750 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

Costo del capitale proprio (CAPM)

r_e = 3% + 0,8·5% = 7%

Pesi

V = €177 950 000, E/V = 0,7797, D/V = 0,2203

WACC

WACC = 0,7797·7% + 0,2203·6%·(1 − 0,21) = 6,502%

Risposta

WACC = 6,502%

7.VAN e TIR

Risposta: NPV = −10145 €

Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.

Valore attuale dei flussi di cassa annui

5 500·4,868 = 26 776,30

Valore attuale del valore residuo

6 000/1,949 = 3 078,95

NPV

NPV = −40 000 + 26 776,30 + 3 078,95 = −€10 144,75

Risposta

NPV = −€10 144,75

8.VAN e TIR

Risposta: IRR = 32,85 %

Delimitare il TIR

Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.

NPV(30%) = 764,68

NPV(35%) = −544,63

Restringere

L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.

IRR ≈ 30 + 5·764,68/(764,68 − (−544,63)) = 32,92%

esatto: NPV(32,85%) = 0 → IRR = 32,85%

Risposta

IRR = 32,85%

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